§ 46. Примеры приближенного определения частот

В качестве примеров приближенного определения частот рассмотрим колебания движущегося кругового стержня (см. рис. 8.11) и вращающегося кольца (рис. 8.12).

1. Колебания в плоскости осевой линии стержня.

Прямолинейный бесконечный стержень (см. рис. 8.11) был изогнут моментами и закреплен. Участок стержня между сечениями имеет постоянный радиус кривизны Затем стержень был приведен в движение с продольной скоростью до. Рассмотрим свободные колебания стержня в плоскости чертежа, пренебрегая инерцией вращения

Для определения частот, как следует из уравнений (8.155), необходимо найти начальное напряженное состояние стержня На участок стержня между сечениями действует равномерно распределенная нагрузка (в безразмерной форме).

Рис. 8.12

Решая статическую задачу, можно получить значения (вызванные инерционными силами

поэтому и уравнения (8.155), (8.156) принимают вид

Последовательно исключая из системы уравнений [как это было сделано при выводе уравнения получим следующее уравнение относительно

Воспользуемся методом Галеркина при решении уравнения (8.169), предварительно определив функции удовлетворяющие краевым условиям задачи.

Берем приближенное выражение для функции в виде степенного ряда

Так как стержень нерастяжим и длина его между сечениями не изменяется, то первая форма колебаний имеет вид, показанный на рис. 8.11, б штрихпунктирной линией 1. Однако для получения приближенных функций, характеризующих формы колебаний, удобнее предположить, что возможна и нулевая форма. Последнюю в дальнейшем можно не использовать, так как она возможна только для растяжимого стержня. Введем для этой функции обозначение

функция должна удовлетворять условиям: Из уравнения (8.168) следует (так как

Наименьшее необходимое число слагаемых ряда (8.170), при которых функция удовлетворяет всем однородным краевым условиям задачи, равно шести, т. е.

Из условий следует, что

Выполнение остальных условий приводит к системе уравнений

Из системы (8.172) получаем

Для получаем выраженйе с двумя произвольными параметрами (один из которых, например равен единице):

Находим функцию из (8.167):

Так как при то Оставшийся произвольный параметр найдем из условия: при

Из (8.175) получаем

Зная и находим

В результате имеем три функции и удовлетворяющие всем краевым условиям задачи. Функции и приближенно описывают первую форму колебаний.

Функцию, приближенно характеризующую первую форму колебаний, ищем в форме ряда (8.170) [с числом слагаемых на единицу больше, чем в (8.171)] со своими неопределенными коэффициентами

Функция должна удовлетворять краевым условиям: иго поэтому получаем

Полагая получим

Для определения оставшихся двух неизвестных коэффициентов необходимо иметь два дополнительных условия. Первое условие, связывающее эти коэффициенты, получим при

Второе условие найдем, потребовав, чтобы векторы, характеризующие формы колебаний удовлетворяли условию ортогональности

где

В развернутом виде из (8.179) получаем

На получающиеся приближенные значения компонент векторов можно наложить менее жесткое требование, а именно, чтобы ортогональны были только компоненты в этом случае условие (8.180) принимает вид

Из уравнений (8.178) и (8.180) находим Приближенное выражение для второй формы колебаний найдем, приняв

Функция (8.181) содержит три произвольных коэффициента которые находят из трех условий:

Если требовать только ортогональность компонент то получаем систему уравнений для определения :

Считая, что функции известны, ищем решение уравнения (8.169), воспользовавшись методом Галеркина и полагая

В соответствии с методом Галеркина из соотношения 1

получаем систему уравнений относительно функций

где

Так, например, для двух слагаемых ряда (8.185) получаем систему уравнений

Полагая получим для определения уравнение

Рассмотрим более детально свойства коэффициентов от которых зависят значения

Интегрируя второе слагаемое в правой части выражения (8.190), получаем

Так как функции и их первые производные удовлетворяют однородным краевым условиям, то окончательно получаем

Из полученного выражения (8.192) следует

Рассмотрим коэффициенты

Интегрируя слагаемые в правой части (8.194) по частям, можно показать, что

поэтому коэффициенты удовлетворяют условию

После преобразований можно получить следующее выражение:

Из (8.195) следует, что при

Интегрируя правую часть выражения для коэффициентов по частям, можно показать, что эти коэффициенты удовлетворяют условиям

В соответствии с установленными свойствами коэффициентов определитель (8.189) принимает вид

Раскрыв определитель, получим

или

где

Покажем, что коэффициенты больше нуля (для случая, когда функции и ортогональны):

Для того чтобы достаточно выполнение условия

Полученное условие (8.202) есть неравенство Коши-Буняковского, т. е. всегда выполняется, поэтому Аналогично можно показать, что и

Из (8.200) находим значения (предполагая, что и

Безразмерные частоты

Как следует из решения, для того чтобы установить влияние скорости продольного движения на частоты колебаний стержня, надо искать решение уравнения (8.169), используя две приближенные формы колебаний. Если ограничиться только одной формой колебаний, то, например, первая частота т. е. от скорости не зависит.

Из формул (8.203) следует, что при т. е. вторая частота при больших является грубой. Для уточнения значения второй частоты следует брать три слагаемых ряда (8.185). При этом получающиеся две первые частоты, как правило, дают хорошее приближение к действительным значениям, т. е. для получения приближенного значения частот надо брать слагаемых ряда (8.185).

2. Рассмотрим колебания в плоскости стержня (см. рис. 8.11,б), пренебрегая инерцией вращения. После преобразований аналогичных выводу уравнения (8.169) можно из системы (8.143)-(8.154) получить уравнение относительно

При приближенном решении уравнения (8.204) воспользуемся методом, излаженным в п. 1.

Возьмем в качестве функции, характеризующей первую форму колебаний, степенную функцию вида

Функции должны удовлетворять краевым условиям: поэтому

Полагая находим коэффициенты поэтому

Получим функцию, характеризующую вторую форму колебаний:

Для определения коэффициентов имеем систему уравнений

откуда

Коэффициент найдем из условия ортогональности функций или после вычислений получаем .

Функция имеет вид

Решение уравнения (8.204), ограничившись двумя формами колебаний, ищем в виде

Используя метод Галеркина, получаем два уравнения: 1

из которых следуют уравнения относительно функций и

где

(см. скан)

Характеристическое уравнение системы (8.211) аналогично уравнению (8.200), а зависимость безразмерных частот от коэффициентов системы (8.211) аналогична выражениям (8.203).

3. Рассмотрим колебания вращающегося кольца в плоскости чертежа (рис. 8.12). Уравнение малых колебаний кругового стержня в плоскости было получено в п. 1 (уравнение 8.169). В этом случае функции, характеризующие формы колебаний, должны удовлетворять условию периодичности, поэтому ищем решение, полагая

Воспользовавшись методом Галеркина, получаем систему уравнений

где

Безразмерные частоты

т. е. не зависят от скорости .

Рис. 8.13