§ 7. Балки на упругом основании

Рассмотрим уравнение равновесия балки, связанной с линейным упругим основанием (2.8) для частного случая, когда жесткость постоянна, а осевая сила равна нулю:

или [аналогично уравнению (2.9)] при

Решение однородной системы (2.47) определяют в виде что приводит к характеристическому уравнению

Корни уравнения (2.48)

В результате получаем решение для в виде

Так как компоненты вектора о являются производными от V, то фундаментальная матрица решений

Полученная матрица при не является единичной матрицей, что не совсем удобно при дальнейших преобразованиях. Выше было показано, что любая матрица вида где постоянная матрица, также является решением однородного уравнения (2.47). Матрицу можно выбрать такой, что при матрица есть единичная матрица; для этого достаточно взять матрицу равной матрице где матрица, обратная матрице т. е.

После преобразований получаем

где

Производные от функций связаны с функциями соотношениями

Общее решение уравнения (2.47) имеет вид

или в скалярной форме записи

В качестве примера рассмотрим действие на стержень сосредоточенной силы и распределенной нагрузки (см. рис. 2.1). В этом случае

Так как то, воспользовавшись свойствами -функций (2.26) и (2.33), получим выражение для в безразмерной форме

где

Подставив (2.57) в (2.56), получим

или

Рассмотрим интеграл

В силу свойств функций А, (2.54) имеем (переходя к безразмерной координате Если то производная по равна

поэтому

Рис. 2.14

Аналогично можно получить

Окончательно получаем следующие значения для интегралов:

Если стержень, связанный с упругим основанием, нагружен растягивающей силой получаем

Для сжимающей силы в уравнении (2.61) следует изменить знак имеем

Уравнение (2.61) описывает и равновесие нагруженного трубопровода, лежащего на упругом основании (рис. 2.14). Для трубопровода растягивающая сила