§ 28. Малые колебания прямолинейных стержней

При колебаниях стержней или в более общем случае — движении прогибы стержня и внутренние силовые факторы зависят не только от координаты (или безразмерной координаты в), но и от времени поэтому следует перейти к частным производным, т. е. расшифровывая приращения функции (например, прогиба связанного с переходом от сечения с координатой в соседнее сечение с координатой полагать

В данной главе рассмотрен наиболее простой случай колебаний прямолинейного стержня, когда движение стержня происходит в плоскости чертежа (рис. 6.9, а).

1. Уравнение малых колебаний гибкого стержня.

Статика прямолинейных гибких стержней рассматривалась в гл. 2 и было получено основное уравнение равновесия прямолинейного стержня (2.8) в предположении, что прогибы стержня являются малыми. При колебаниях стержня на его элемент действует (при малых прогибах) сила инерции (рис. 6.9, б)

В случае малых колебаний можно считать, что элемент стержня смещается только по нормали, т. е. координата элемента от времени не зависит, поэтому при описании движения стержня можно использовать переменные Лагранжа (в рассматриваемом случае и для распределенной силы инерции получаем

Перейдем к безразмерным величинам, полагая где жесткость в начале координат. Массу единицы длины можно выразить через массу единицы длины стержня в начале координат и безразмерную функцию Безразмерная распределенная нагрузка поэтому после преобразований получаем

Рис. 6.9

Движение стержня может быть вызвано как отклонением от состояния равновесия, так и приложенными к стержню силами, зависящими отвремени, т. е. в общем случае правая часть уравнения (2.8) (приведенного к безразмерной форме) может быть представлена в виде

поэтому уравнение малых колебаний прямолинейного стержня относительно состояния равновесия имеет вид

где соответственно статическая и динамическая нагрузки приложенные к стержню. Уравнение (6.6) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных.

Если под понимают полный безразмерный прогиб стержня, то его можно представить в виде где прогиб, вызванный статически приложенными силами и — динамический прогиб, вызванный силами или, при свободных колебаниях, отклонением от состояния равновесия.

Подставив выражение для в (6.6), получим

т. е. для определения получили два независимых уравнения, поэтому при исследовании малых колебаний можно рассматривать только динамическую составляющую прогиба.

Уравнение (6.8) не учитывает инерцию вращения элемента стержня [показанный на рис. 6.9, б пунктиром инерционный момент считается равным нулю] и инерцию сдвига, о чем более подробно будет сказано в § 36. Для численных методов определения частот и форм колебаний уравнение (6.8) удобнее представить в виде системы уравнений первого порядка (относительно производной по в), введя следующие функции:

После преобразований получаем систему уравнений вида

Основное преимущество сведения уравнения (6.8) к системе уравнений (6.10) заключается в том, что не надо дифференцировать безразмерную жесткость Система уравнений (6.10) эквивалентна одному векторному уравнению

где

2. Уравнение малых колебаний абсолютно гибкого стержня.

Абсолютно гибкий неоднородный стержень (нить), лежащий на упругом основании, показан на рис. 6.10. Натяжение в стержне обозначим Рассматривая элемент стержня (частный случай элемента, показанного на рис. 6.9, б когда можно получить следующее уравнение малых колебаний абсолютно гибкого стержня:

Рис. 8.10

Полагая получим (6.12) в безразмерной форме: