§ 20. Кинематические уравнения для скоростей и ускорений

1. Рассмотрим элемент трубки и найдем относительную скорость сечения В по отношению к А (рис. 4.8):

Относительную скорость можно выразить через вектор угловой скорости :

Приравняв (4.42) и (4.43), получим

или (перейдя к локальным производным)

В проекциях на подвижные оси, связанные с трубкой, имеем

Рис. 4.8

Абсолютная угловая скорость вращения элемента стержня по аналогии с абсолютной скоростью поступательного движения

где абсолютная угловая скорость вращения элемента стержня; — угловая скорость вращения элемента трубки; угловая скорость вращения элемента стержня, вызванная движением стержня относительно трубки (см. рис. 4.8).

Относительная скорость сечения В стержня по отношению к .

Так как элемент стержня, совпадающий с элементом трубки, имеет угловую скорость вращения получаем

или

Из (4.24) с учетом (4.19) следует

Соотношение (4.50) справедливо для случая, когда стержень нерастяжим.

Если стержень растяжим, то в правую часть выражения (4.49) надо добавить относительную скорость, вызванную деформацией элемента стержня. Поэтому полная относительная скорость элемента растяжимого стержня

где относительная скорость элемента стержня, вызванная деформацией. В то же время относительная скорость сечения В по отношению к А есть не что иное, как приращение скорости продольного движения, т. е.

или

Из сопоставления (4.53) с уравнением неразрывности (4.41) следует

В проекциях на подвижные оси из (4.51) получаем

Из (4.51) получаем (для растяжимого стержня)

Соотношение (4.56) позволяет установить значения компонент вектора в зависимости от скорости продольного движения стержня. Перейдем в (4.56) к локальным производным

Из (4.57) имеем два скалярных уравнения

Соотношения (4.58) устанавливают зависимость между модулем продольной скорости элемента и кривизнами осевой линии стержня в плоскостях, проходящих через главные оси сечения стержня и касательную, и проекциями угловой скорости То, что проекция не входит в соотношения (4.58), не значит, что она равна нулю. Дело в том, что угловая скорость вращения элемента относительно касательной не влияет на относительную скорость, которая рассматривалась при выводе уравнения (4.49).

Уравнение (4.57) эквивалентно следующим двум векторным уравнениям:

Рис. 4.9

Уравнение (4.35) справедливо как для растяжимых стержней, так и для нерастяжимых. Например, при движении стержня в плоской трубке (канале) (рис. 4.9) из (4.59), (4.60) имеем

т. е. угловая скорость элемента в сечении с координатой зависит только от модуля Продольной скорости в данном сечении и геометрии трубки и не зависит явно от физических свойств материала стержня (или нити). Это замечание относится и к более общему уравнению (4.35). От физических свойств материала стержня зависит правая часть соотношения (4.35). При выводе уравнений (4.20) и (4.25) считалось, что скорость движения стержня можно представить как сумму скоростей переносной и относительной Такое разделение абсолютной скорости эффективно, когда известна относительная скорость Если неизвестна (например, появляется только из-за деформаций стержня), то такое разделение нецелесообразно. В этом случае для растяжимых стержней следует использовать уравнения (4.55), выраженные через проекции абсолютной скорости V и уравнение неразрывности (4.41).

2. Рассмотрим абсолютную производную вектора переносной скорости элемента стержня (см. рис. 4.4) по времени, воспользовавшись переменными Эйлера:

где

Вектор есть абсолютная скорость точки трубки, с которой в данный момент совпадает центр тяжести элемента стержня, т. е. для стержня при вектор есть вектор переносной скорости. Если стержень не имеет продольного движения то есть абсолютная скорость стержня.

Как было показано в § 16, полные частные производные можно представить через локальные производные в виде

поэтому имеем [с учетом выражения (4.45)]

Следует подчеркнуть, что в (4.64) скорость может быть вызвана деформациями растяжения стержня.

В проекциях на оси, связанные с трубкой, получаем следующие выражения для компонент переносного ускорения:

Если стержень продольной скорости не имеет то из (4.65) получаем

Полученные выражения для производных по времени (4.64)- (4.66) справедливы для любого вектора, связанного с движущимся стержнем.

При абсолютное ускорение стержня

Воспользовавшись уравнением (4.45), исключим из (4.67)

Если стержень нерастяжим, то

В случае, когда стержень нерастяжим и имеет постоянную по модулю скорость следует в (4.68) положить

В проекциях на связанные с трубкой оси из (4.68) имеем следующие выражения для компонент абсолютного ускорения нерастяжимого стержня: