2. Частные Случаи векторных уравнений равновесия.

Если деформациями стержня можно пренебречь, т. е. считать, что форма осевой линии стержня при нагружении внешними силами не изменилась а задача является статически определимой, то система уравнений позволяет найти внутренние силовые факторы . В этом случае уравнение (3.4; принимает вид

Уравнения (3.3), (3.4) получены для случая, когда в начальном состоянии (естественном) стержень не нагружен. В прикладных задачах часто необходимо знать, как изменяется форма упругого элемента (стержня) и напряженное состояние при дополнительном нагружении. На рис. 3.4 показаны два состояния стержня: первое состояние, при котором стержень был нагружен силами (в общем случае могут быть и распределенные нагрузки считается известным; второе состояние, при котором стержень был нагружен дополнительными внешними силами считается неизменным.

В новом состоянии равновесия (состояние 2)

где векторы, характеризующие изменение внутреннего момента и силы при приложении дополнительных внешних сил; дополнительные распределенные силы и моменты.

Следует иметь в виду, что начальная распределенная нагрузка действующая на стержень, при его дополнительных деформациях может изменяться (так же как и сосредоточенные силы и моменты, от которых в неявной форме зависит конечное состояние равновесия стержня). Векторы можно представить в виде

где распределенная нагрузка, равная начальной; изменение начальной нагрузки, зависящее от изменения положения стержня в пространстве.

Рис. 3.5

Векторы удовлетворяют уравнениям начального состояния равновесия

Рассматривая элемент стержня в новом состоянии равновесия, получим следующие уравнения, выраженные через начальное напряженное состояние:

Следует Иметь в виду, что при дополнительном нагружении приложенные стержню силы из-за деформаций стержня меняют свое направление (если они не следящие) и в новом состоянии равновесия не равны начальным. Стержень в магнитном поле показан на рис. 3.5. До приложения момента на стержень действовала распределенная нагрузка вызванная притяжением магнита, которая зависит от расстояния между элементом стержня и магнитом. При приложении момента из-за изменения расстояния между стержнем и магнитом распределенная сила изменится, что необходимо учитывать. Если распределенную нагрузку представить в виде (3.7), то из (3.11) с учетом (3.9) имеем

Уравнение (3.13) в явном виде не зависит от начального напряженного состояния (вернее, от начальных сосредоточенных сил и моментов), его решение зависит от краевых условий. Например, для стержня, показанного на рис. 3.4, имеем

Так как (по аналогии с распределенной нагрузкой) можно представить в виде

то из (3.14) получаем

Если начальная нагрузка при деформации стержня по отношению к неподвижной системе координат не меняется, то вектор зависит только от дополнительных сил .

Рассмотрим уравнение (3.12), которое после подстановки в него выражений (3.6) и (3.7) и исключения можно преобразовать к виду

Уравнение (3.16) зависит от начального, напряженного состояния (от в отличие от уравнения (3.13) и от начальной формы осевой лииии стержня (от Следует отметить, что вектор известен только в базисе т. е. при решении вектор надо брать в виде

Если деформациями стержня можно пренебречь то векторы находят независимо от т. е. в этом случае справедлив принцип суперпозиции.