§ 8. Приближенные методы решения задач

Многие задачи механики стержней, с которыми приходится сталкиваться инженеру-расчетчику, не поддаются точному решению. К таким задачам относятся, например, задачи статики и динамики стержней с переменным сечением, нелинейные задачи с нелинейными краевыми условиями и т. д. Для решения подобных задач используют приближенные методы как численные,

так и аналитические, или методы, представляющие их комбинацию. Часто оказывается, что полученные точные решения из-за чрезвычайной сложности записи являются практически бесполезными для математической и физической интерпретации или численных расчетов, т. е. для получения нужной информации прибегают к упрощениям или аппроксимациям.

Среди приближенных методов наибольшее распространение получили методы, использующие вариационные принципы, и методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Полученные в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае нечмогут быть решены в аналитической форме за исключением частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно используют или численные методы, или приближенные, использующие вариационные принципы механики. При численных методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики стержней относятся к двухточечным краевым задачам.

Рассмотрим задачу о нагруженной балке, лежащей на упругом основании [уравнение (2.9)]. Для численного решения этой системы уравнений необходимо знать о (0), однако компонент вектора неизвестен.

Поэтому при численном счете задаются неизвестными компонентами каждый раз решая систему уравнений, пока не найдут значения при которых вектор удовлетворяет краевым условиям на правом конце. Несмотря на кажущуюся сложность этих методов, их решение на ЭВМ довольно эффективно. Для сокращения времени счета используют методы целенаправленного поиска начальных значений у, (0), дающих решение задачи. Если используют уравнения в безразмерной форме, то полученное решение охватывает целый класс родственных задач.

Следует подчеркнуть, что классическое решение дифференциальных уравнений равновесия стержня или нити (представление решения в квадратурах), как правило, практически мало полезно, так как все равно, получение числовых результатов требует применения численных методов для выражений анализа решений. Это может быть гораздо сложнее, чем численное решение исходных уравнений.

Уравнения равновесия стержней и нитей можно получить из общи вариационных принципов механики, поэтому их можно использовать и для приближенных методов расчета. Прежде чем изложить методы приближенных решений, напомним положения вариационного исчисления и основные вариационные принципы, используемые в механике стержней и нитей.

1. Основные положения вариационного исчисления. В инженерной практике наряду с задачами определения экстремальных

значений функций возникает необходимость определения экстремальных значений выражений вида

которые называются функционалами. Задачей вариационного исчисления является определение функций, например функции у, которые сообщают экстремальные значения функционалам.

Исследуем на экстремум простейший функционал (2.64) для случая, когда граничные точки для допустимых функций у фиксированы: Допустимыми функциями называются непрерывные функции (с непрерывными производными), принимающие известные значения на концах интервала интегрирования. Необходимым условием экстремума является обращение в нуль первой вариации функционала. Для получения первой вариации функционала перейдем от функции у к близкой к ней, полагая

где а — малое число; — произвольная функция (вариация функции которая обращается в нуль при Приращение функционала

Разложив первое слагаемое в правой части в ряд Тейлора по степеням а, получим (ограничившись линейной частью разложения)

или

Интегрируя по частям, получим

Подставив (2.68) в выражение для первой вариации функционала (2.67), имеем

Вариация является произвольной функцией, не равной дественно нулю, поэтому условие (2.69) будет выполняться, если положить

Полученное уравнение (2.70) есть уравнение Эйлера. В развернутом виде имеем

Если функция не зависит от уравнение Эйлера имеет первый интеграл. В этом случае из (2.71) получим

Умножив (2.72) на у, получаем производную от выражения

поэтому

Если функционал

зависит от то, проделав аналогичные выкладки, получим следующее уравнение для определения у:

Функционал может зависеть от двух и более неизвестных функций, например

Чтобы функции доставляли экстремум функционалу (2.77), необходимо, чтобы функции удовлетворяли системе уравнений вида

Часто встречаются задачи, в которых на искомые функции у накладываются дополнительные ограничения. Такая задача называется задачей на условный экстремум, и она формулируется следующим образом: требуется найти функцию у, которая сообщает экстремум функционалу

при условии, что функция у удовлетворяет дополнительному условию

Ограничения, которым должна удовлетворять функция (2.80), могут от производных функций у и не зависеть. При решении рассматривают функционал вида

где к множитель Лагранжа, и ищут экстремум функционала

Уравнение Эйлера имеет вид

или

Уравнение (2.84) совместно с уравнением (2.80) дают систему двух уравнений для определения неизвестных функций . В случае, когда имеется ряд ограничений рассматривается функция вида

где — множители Лагранжа.

Если ограничения на функцию у заданы в интегральной форме вида

то такие задачи называются изопериметрическими. Требуется найти экстремум функционала

при условии

Изопериметрическую задачу можно свести к общей задаче на условный экстремум, полагая

Дифференцируя (2.89) по получим

Требуется найти функции доставляющие экстремум функционалу (2.87) при наличии уравнения связи (2.90). Воспользовавшись множителем Лагранжа, имеем

Так как функция зависит от двух неизвестных функций то для их определения получаем систему уравнений

или

Рис. 2.15

Из уравнения (2.94) следует, что для изопериметрической задачи множитель Лагранжа есть постоянное число.

Уравнение (2.93) и условие (2.88) дают возможность определить функцию у и неизвестный множитель Лагранжа

Рассмотрим следующий пример. Нить заданной длины, которая находится в равновесии в поле тяжести, показана на рис. 2.15. Форма, которую нить имеет в состоянии равновесия (по сравнению с другими возможными формами, показанными пунктирными линиями), должна удовлетворять экстремальному условию: координата у о (центр тяжести) для истинной формы равновесия имеет наименьшее значение (что эквивалентно условию минимума потенциальной энергии нити). Координата центра тяжести

Условие минимума эквивалентно условию минимума функционала

при дополнительном ограничении

Воспользовавшись множителем Лагранжа, получаем следующий функционал:

Уравнение Эйлера для функционала имеет первый интеграл

или

Из (2.99) получаем

Уравнение (2.100) можно проинтегрировать, положив имеем

Продифференцировав (2.101) по получим

Из (2.102) получаем После преобразований

Из уравнения (2.103) следует, что нить в поле тяжести в состоянии равновесия имеет форму, которая описывается цепной линией.

Для определения трех постоянных величин и К имеем следующие три уравнения:

Подставив в (2.106) выражение для у, получим

Из уравнений (2.104) и (2.105) можно исключить

Возводим уравнения (2.107) и (2.108) в квадрат и вычитаем одно из другого:

Из (2.109) после преобразований получаем

Уравнение (2.110) зависит только от Определив находим из (2.107) или а из (2.104) или (2.105)