Рис. 1.9
Производная векторной функции 
по скалярному аргументу 
есть вектор, направленный по касательной к кривой (годографу). Вектор 
можно представить как произведение единичного вектора 
направленного по касательной к кривой в точке А, на модуль вектора 
где 
единичный вектор, имеющий направление вектора 
Покажем, что модуль вектора 
равен единице. При малой величине дуги кривой 
ее можно рассматривать как дугу окружности радиуса 
(соприкасающаяся окружность) [3, 27] (см. рис. 1.9), поэтому
т. е. производная 
по дуге 
есть единичный вектор 
направленный по касательной к кривой.
Из приведенного вывода (1.39) следует, что если кривая плоская, то вектор 
характеризующий первую производную вектора 
лежит в этой же плоскости. Рассматривая вектор, характеризующий вторую производную вектора 
можно показать аналогичным образом, что он тоже лежит в плоскости кривой. Если кривая пространственная (общий случай), то производная 
по 
также единичный вектор, направленный по касательной. Пространственная кривая может представлять собой траекторию материальной точки. В этом случае 
зависит от времени 
тогда
где 
модуль скорости материальной точки.
на плоской кривой, являющейся годографом вектора 
(рис. 1.9). Точки 
соответствуют двум значениям аргумента: 
Приращение радиуса-вектора 
. С уменьшением 
точка В стремится к точке А, а вектор 
(секущая), вращаясь относительно точки А, переходит в вектор 
направленный по касательной к кривой в точке А, т. е.
