§ 42. Определение частот и форм колебаний плоского кругового стержня

Воспользуемся изложенным в § 41 методом определения частот колебаний кругового стержня постоянного сечения, показанного на рис. 8.2. Система уравнений свободных колебаний была получена в § 40 [система ]

Для: кругового стержня при приведении уравнений к безразмерной форме удобно использовать радиус (вместо I), а для безразмерного времени взять выражение где . В этом случае пределы изменения координаты зависят от угла

Ограничимся случаем, когда инерцией вращения можно пренебречь . Так как для стержня постоянного сечения то из системы получаем (переходя к перемещениям и и углу

Полагая из системы (8.72) получим (для кругового стержня безразмерная кривизна

или

где

При при поэтому имеем

Задавшись интегрируем систему (8.74) три раза (для получения трех столбцов матрицы при следующих начальных условиях для компонент вектора .

Удовлетворяя краевым условиям на правом конце интегрирования (при получаем систему уравнений

Для каждого принятого значения вычисляют определитель системы (8.76). Значение при котором определитель обращается в нуль, соответствует безразмерной частоте стержня.

Результаты численного определения пяти безразмерных частот в зависимости от угла приведены в табл. 6.

Таблица 6 (см. скан)

Полагая находим для каждого значения из системы (8.76) значения

где

В результате получаем вектор характеризующий изменение перемещений (формы) и внутренних силовых факторов по при колебаниях с частотой

Рассмотрим колебания кругового стержня с прямолинейным участком (рис. 8.4), представляющего собой ветвь камертона. Уравнения малых колебаний криволинейного участка стержня совпадают с уравнениями (8.73). Получим уравнения малых колебаний прямолинейного участка стержня с учетом горизонтального перемещения стержня из-за деформации криволинейного участка. Так как кривизна прямолинейного стержня то из общих уравнений (8.72) получаем

Рис. 7.4

В векторной форме записи

где

В результате имеем два уравнения

Уравнение с индексом I есть уравнение (8.73) для криволинейного участка. Для определения частот воспользуемся методом начальных параметров. Решения уравнений (8.81) имеют вид

В месте стыковки участков стержня должно выполняться условие (рис. 8.5)

Решая уравнения (задавшись получаем матрицы перехода для первого и второго участков, что дает возможность получить соотношения, связывающие векторы начала и конца участков:

Рис. 8.5

Таблица 7 (см. скан)

Воспользовавшись условием (8.83), получаем

Краевые условия для задачи в целом следующие:

В результате получаем систему уравнений

где элементы матрицы

Значения при которых определитель системы (8.85) обращается в нуль, есть частоты стержня. Значения безразмерных частот для ряда отношений приведены в табл. 7.