§ 16. Абсолютная и локальная производные вектора по времени

Рассмотрим вектор в подвижной системе координатных осей (рис. 4.2):

В подвижной системе координат и компоненты вектора а? и базисные векторы зависят от времени, поэтому производная вектора учетом (4.5)]

где — абсолютная локальная (относительная) частная производная вектора а, характеризующая его

изменение во времени относительно подвижной системы координат; вектор а характеризует изменение вектора а во времени, вызванное вращением координатных осей. Получим выражения, связывающие проекции вектора угловой скорости с углами Воспользуемся соотношениями

где единичные векторы базиса при Дифференцируя (4.9) по получим

Так как

то после подстановки (4.11) в (4.10) получим

Найдем, например, выражение для проделав все операции суммирования. Полагая имеем (суммируя правую часть по

Можно получить еще одно выражение для полагая

которое используют для проверки правильности (4.13) при переходе к явным выражениям от углов.

Окончательно получаем следующие выражения для проекций угловой скорости (ограничившись одной из форм записи для ):

Рис. 4.2

Воспользовавшись выражением для получим

Соотношения (4.14) можно представить в векторной форме записи

где

Покажем, что абсолютные производные векторов шик соответственно по равны локальным производным