4. Векторное уравнение для момента.

Рассмотрим деформации элемента стержня в связанной системе координат (рис. 3.6). В плоскостях, проходящих через главные оси сечения, проекция осевой линии имеет кривизны которые являются проекциями кривизны пространственной осевой линии. Так как вектор к в естественных осях имеет только две проекции (рис. 3.7), то в главных осях получаем

Кроме изгиба в двух взаимно перпендикулярных плоскостях моментами элемент стержня скручивается моментом

что характеризуется кручением осевой линии стержня. Считая, что упругие моменты пропорциональны изменениям кривизны и кручения, получим три уравнения

где кручение и кривизна в недеформированном состоянии; жесткость при кручении и изгибе, которая для стержня переменного сечения зависит от Столь простая форма связи внутренних моментов с приращениями величин возможна только в главных осях, в чем и заключается их преимущество по сравнению с другими осями. Система уравнений (3.24) может быть записана в виде одного векторного уравнения

где

Следует подчеркнуть, что вектор не равен вектору характеризующему начальное состояние стержня. Вектор известен в базисе

Найдем в связанной системе координат приращения кривизн, входящих в уравнения (3.24). Считаем, что вектор при деформации стержня остается без изменения в подвижной системе координат, что имеет место, если его проекции в этой системе координат не меняются. В этом случае в базисе вектор и при

Окончательно имеем четыре нелинейных векторных уравнения, характеризующих равновесие стержня:

Для решения системы необходимо иметь матрицы связывающие единичные векторы разных базисов.