§ 29. Численные методы определения частот и форм колебаний стержня

1. Определение частот.

Рассмотрим свободные колебания стержня (положим при которых решение (6.8) ищем в виде где безразмерная частота, равная размерная частота). Подставив выражение для в (6.8), получаем

где

Решение уравнения (6.14) при аналогично решению уравнения (2.9) и имеет вид

где С — произвольный вектор.

Метод численного определения матрицы изложен в гл. 2.

Отличие между решениями (2.9) и (6.15) заключается в том, что в статике элементы матрицы А известны, а при исследовании малых колебаний матрица А имеет элемент, зависящий от неизвестного параметра К. Поэтому при численном определении матрицы приходится задаваться параметром К (безразмерной частотой) и искать такие значения при которых вектор удовлетворяет краевым условиям задачи. Например, для консольно закрепленного стержня компоненты вектора должны удовлетворять следующим краевым условиям: (следовательно, Это приводит к системе уравнений

или

Значения при которых элементы матрицы удовлетворяют условию (6.16), дают спектр безразмерных частот стержня.

Рис. 6.11

В качестве примера определим безразмерные частоты стержня переменного сечения (рис. 6.11). В этом случае имеем зависят от закона изменения ширины сечения для которой рассмотрим два случая:

безразмерных коэффициентов и получаем соответственно

В результате численного решения уравнения получаем три первых значения безразмерных частот колебаний в зависимости от для двух случаев изменения (табл. 2 и 3).

Таблица 2 (см. скан)

Таблица 3 (см. скан)

Для частного случая стержня постоянного сечения при из (6.8) получаем

и соответствующее ему характеристическое уравнение откуда получаем значения корней

и соответствующее им точное аналитическое решение

где

Функции так же, как и функции (2.53), называют функциями Крылова.

Для производных по справедливы соотношения

Соотношения (6.20) позволяют получить значения более высоких производных, а тем самым и матрицу которая для рассматриваемого частного случая имеет вид

Для определения к, например для консольного стержня, получаем

или

Численное решение уравнения (6.18) дает для значения

2. Определение форм колебаний.

Для каждого из определенных значений формы колебаний для общего случая (когда элементы матрицы А зависят от ) можно найти только численным счетом.

Из уравнений (6.16) находим

поэтому для компонент вектора соответствующих имеем

где форма колебаний, соответствующая частоте; и Фал — функции, характеризующие изменение по первой производной момента и перерезывающей силы, соответствующие частоте колебаний стержня, т. е. каждой частоте колебаний соответствует вектор решений собственный вектор краевой задачи.

Для определения соответствующих (для стержня переменного сечения), надо решить уравнение (6.14) два раза, чтобы получить элементы двух столбцов матрицы Например, для консольного стержня условия следующие: при .

Для уравнения (6.18) при консольном закреплении стержня собственные формы [функции равны]