§ 10. Векторные уравнения равновесия стержней

1. Векторные уравнения равновесия стержня.

При исследовании статики стержня введем две системы координат: неподвижную декартовую с единичными векторами (рис. 3.1), относительно которой определяется положение стержня, и подвижную, жестко связанную с сечениями стержня, относительно которой рассматриваются малые упругие деформации элемента стержня. Дуга осевой линии отсчитывается от некоторой фиксированной точки, выбор которой произволен.

Рис. 3.1

Связанные оси могут Оыть ориентированы произвольно, но для получения более простых уравнений равновесия (и движения) целесообразно их ориентировать следующим образом. Начало координат должно совпадать с центром тяжести площади поперечного сечения стержня, одна из осей (например ось, определяемая единичным вектором направлена по касательной к осевой линии стержня в сторону возрастания координаты а две другие оси — по главным центральным осям сечения.

Для абсолютно гибкого стержня (нити) в качестве связанных осей целесообразно брать естественные оси. Естественные оси могут быть взяты и при рассмотрении деформаций стержня, поперечное сечение которого имеет более чем одиу пару осей симметрии. Оси, связанные с главными осями сечения, будем называть главными осями (в отличие от естественных осей).

Два положения стержня показаны на рис. 3.1: первое положение соответствует иенагруженному состоянию (естественному), при котором осевая линия стержня есть пространственная кривая; второе положение соответствует нагруженному состоянию.. Под действием медленно нарастающих силы и момента (рассматривается статика) стержень, деформируясь, переходит из состояния 1 в состояние 2. Из рис. 3.1 следует, что упругие перемещения могут быть настолько болыними, что форма осевой линии нагруженного стержня может как угодно сильно отличаться от первоначальной формы. Внешние силы в процессе деформации стержня изменяются по направлению (на рис. 3.1 направления векторов в момент приложения к стержню показаны пунктиром).

Для решения нелинейных задач статики гибких стержней необходимо знать поведение внешних нагрузок в процессе деформации стержня, а также необходимо учитывать изменение связей (например, перемещение шарнира на рис. 3.2). Конечное состояние гибкого стержня будет различным, если стержень в первом случае нагружать «мертвой» силой («мертвой» называется нагрузка, сохраняющая при деформировании системы свое направление), а во втором следящей, т. е. силой, которая в процессе деформации стержня сохраняет свое направление но отношению к стержню (например образует неизменные углы со связанным триедром). В более общем случае нагруженйя на стержень кроме сосредоточенных могут действовать распределенные силы и моменты, поэтому при выводе уравнений равновесия будем их учитывать.

Рассмотрим элементы стержня длиной и нанесем все действующие на него силы (рис. 3.3). На рис. 3.3 приняты следующие обозначения: вектор внутренних усилий где осевое усилие; перерезывающие усилия; вектор внутренних моментов Мгег где крутящий момент; изгибающие моменты; проекции вектора распределенной нагрузки на связанные оси; Из проекции вектора распределенного момента на связанные оси. Направления осей связанного триедра, определяемые единичными векторами совпадают с направлением главных осей сечения стержня. Элемент находится в равновесии, следовательно, сумма всех сил и сумма моментов равны нулю и получаем два векторных уравнения

или

В векторной форме записи уравнения инвариантны по отношению к любой системе координат. Для перехода от (3.3) (3.4) к уравнениям, записанным в каком-либо базисе, необходимо представить векторы в виде разложения по векторам данного базиса. Более подробно о других формах записи уравнений равновесия сказано в § 13.

В системе уравнений неизвестными являются векторы известными — действующие распределенные нагрузки, а также сосредоточенные силы и моменты, приложенные к стержню (см. рис. 3.1), и условия закрепления стержня. Система уравнений, не является полной, таккак определить из этой системы в общем случае нельзя. Дело в том, что в уравнение (3.4) входит единичный вектор натурального триедра, положение которого

Рис. 3.2

Рис. 3.3.

в пространстве неизвестно и зависит от деформации стержня.

Рис. 3.4