§ 3. Основные положения дифференциальной геометрии
В предыдущем параграфе были получены выражения для производных по координате 
единичных векторов базиса, связанного с пространственной кривой. Было наложено ограничение только на один из векторов базиса, а именно на вектор 
который при перемещении базиса вдоль кривой всегда должен быть направлен по касательной к кривой. Остальные два вектора 
могли дополнительно поворачиваться (оставаясь взаимно-ортогональными) относительно вектора 
т. е. положение векторов 
не было жестко связано с кривой. В результате были получены выражения для производной (1.52), в которые входят к, — проекции вектора к, характеризующего внутреннюю геометрию кривой (кривизну и кручение). Рассмотрим более подробно геометрические свойства кривых.
1. Плоская кривая.
Наиболее удобным способом представления кривой (как плоской, так и пространственной) является параметрическое представление 
где 
-параметр (криволинейная координата).
В § 2 было показано, что производная радиус-вектора 
по 
есть единичный вектор 
направленный по касательной, т. е.
Рассмотрим плоскую кривую (рис. 1.12). В точке А этой кривой проведем касательную 
и нормаль 
Если теперь провести ряд окружностей, касающихся прямой 
в точке 
то среди этих окружностей имеется одна, наиболее близко прилегающая к кривой в точке А (например, окружность К). Эта окружность называется соприкасающейся окружностью, а ее радиус 
радиусом кривизны кривой в точке 
Рис. 1.12
Рис. 1.13
Производная от 
есть вектор, ортогональный 
Поэтому имеем
где 
вектор, ортогональный вектору 
Из подобия треугольников 
и 
следует (рис. 1.13)
радиус соприкасающейся окружности. Так как 
то из (1.90) получаем
поэтому
