Глава 4. Кинематика гибких стержней
§ 15. Производные базисных векторов по времени
Найдем производные по времени векторов базиса 
Положение трехгранника, связанного с некоторой кривой в моменты времени 
показано на рис. 4.1. Точка кривой, с которой связан трехгранник, своего положения на кривой не меняет, 
Соотношения, устанавливающие связь между базисными векторами при изменении их положения в пространстве, были получены в § 3. Изменение положения осей, связанных с осевой линией стержня, может произойти вследствие двух причин: 1) изменение положения осей во времени при фиксированной координате 
из-за движения гибкого стержня или нити (см. рис. 4.1); 2) изменение положения осей при переходе в соседнюю точку вдоль осевой линии стержня в фиксированный момент времени 
Базисные векторы 
в общем случае зависят от двух независимых параметров 
. В первом случае изменение положения осей зависит от скалярного аргумента 
при фиксированном 
во втором случае изменение положения зависит от скалярного аргумента 
при фиксированном 
При движении стержня происходит непрерывное изменение положения его осевой линии и ее формы (из-за деформации стержня). Для описания движения стержня с определением в каждый момент времени формы осевой линии необходимо знать производные векторов связанного базиса по аргументам 
Производная векторной функции есть вектор, который можно разложить по векторам базиса 
где 
элементы некоторой матрицы 
аналогичной матрице 
(§ 2). Матрица 
кососимметрична, имеет только три независимых элемента:
Рис. 4.1
В результате получаем
Справедливо следующее равенство:
где 
вектор угловой скорости системы координат 
Для производных по времени векторов подвижного базиса получаем выражения
Воспользовавшись символами Леви-Чивита, имеем
