Глава 8. Малые колебания пространственно-криволинейных стержней
§ 40. Уравнения малых колебаний гибких стержней
Рассмотрим колебания нагруженного стержня относительно состояния равновесия. Считая, что возникающие при колебаниях дополнительные внутренние усилия и перемещения являются малыми, положим
где
статические составляющие соответствующих векторов;
динамические составляющие, которые считаются малыми. Так как рассматриваются малые колебания, то векторы
и
можно считать малыми.
1. Уравнения малых колебаний в векторной форме.
Получим уравнения малых колебаний стержня, воспользовавшись уравнениями
Подставив в эти уравнения выражения (8.1) и сохраняя только слагаемые, линейно зависящие от малых величин, получим следующие векторные уравнения (опуская знак тильды в обозначении локальной производной):
При малых колебаниях соотношения, связывающие компоненты векторов
и со с углами (малыми)
можно представить в векторной форме
соотношение (3.56)]
При решении конкретных задач уравнения
удобнее представить в векторно-матричной форме записи, так как векторы
считаются известными. Рассмотрим, например, векторные произведения
которые можно представить в виде
где
Аналогичным образом получаем выражения и для остальных векторных произведений, входящих в систему
После преобразований имеем
где