§ 33. Свободные нелинейные колебания стержня

1. Вывод нелинейных уравнений колебаний гибкого стержня.

Элемент стержня с действующими на него силами и моментами (включая момент инерции вращения) показан на рис. 6.16. Проектируя силы на оси соответственно, имеем два уравнения вида

где

Рис. 6.16

После преобразований из уравнений (6.99) и (6.100) получаем

Сумма моментов, действующих на элемент, равна

где

После преобразований получаем выражение

Умножим (6.101) на и сложим с (6.102):

где

Продифференцируем

Так как

то получаем следующее выражение:

Разделив действительную и мнимую части в уравнении (6.109), получим два нелинейных уравнения

В результате получаем систему трех уравнений (6.110), (6.111), и (6.104) с тремя неизвестными, стержень не действуют внешние силы, направленные по оси стержня. Поэтому продольное усилие вызвано силами инерции из-за смещений элементов стержня по направлению к оси . В линейной постановке принимают, что смещения элементов при колебаниях происходят только по оси у. Горизонтальные смещения элементов стержня в первом приближении пропорциональны квадратам смещений по оси у, поэтому сила нелинейно зависит от перемещений по оси у. Уравнение (6.110) содержит как линейные слагаемые, так и нелинейные, т. е. является основным уравнением, описывающим нелинейные колебания. Из этого уравнения в частном случае получается уравнение линейных колебаний стержня. Уравнение (6.111) является чисто нелинейным и при линейном рассмотрении обычно не учитывается.

При точном решении система уравнений решается совместно, однако это возможно только численными методами. Ограничимся приближенным решением, для которого достаточно найти приближенное выражение для продольной силы Предварительно преобразуем уравнение (6.110), исключив из него силу

В уравнение (6.112) входит неизвестная сила возникающая вследствие изгиба стержня. Выражение для можно найти, рассмотрев равновесие отсеченной части стержня (см. рис. 6.16):

Определим приближенно силу задавшись вертикальными смещениями в виде тогда производные и по координате

Выражение для после разложения в ряд принимает вид (ограничимся только двумя слагаемыми ряда)

Получим выражение для и для вторых производных по которые входят в выражение (6.113):

Подставив выражения (6.117) и (6.118) в соотношение (6.113), получим

Приведем уравнение (6.112) к безразмерному виду

2. Определение низшей частоты колебаний.

Для решения уравнения (6.120) воспользуемся методом Галеркина, приняв

где производная по от первой собственной функции линейной задачи.

В линейной постановке имеем где — первая собственная функция для уравнения

Подставив а в уравнение (6.120), получим

Умножим (6.123) на и проинтегрируем от до

Вычислив интегралы и проведя соответствующие преобразования в уравнении (6.124), получим следующее нелинейное относительно уравнение

где

Уравнение (6.125) решаем методом Галеркина, полагая

Подставляя значение функции и ее производных в уравнение (6.125), определяем ошибку 8:

Умножим (6.127) на проинтегрируем от до и поставим условие, чтобы

После преобразований получим уравнение, связывающее безразмерную частоту колебаний к и амплитуду

или

Из этого уравнения находим отношение к в зависимости от Значения к в зависимости от для разных приведены в табл.

Таблица 5 (см. скан)

Как известно, для линейного уравнения — первая частота колебаний без учета инерции вращения.