§ 14. Основные теоремы статики нити
Если нить нагружена распределенными силами, направленными по нормали к нити, то натяжение в нити постоянно (теорема 1). Подобный случай нагружения нити имеет место, когда невесомая нить расположена на криволинейной идеально гладкой поверхности (рис. 3.13). Так как в этом случае 
то из уравнения (3.102) получаем 
В состоянии равновесия нить, находящаяся на идеально гладкой поверхности, располагается по геодезической линии этой поверхности (теорема 2). Геодезической линией на поверхности называется такая линия, у которой соприкасающаяся плоскость в каждой ее точке проходит через нормаль к поверхности в этой точке. Если нить находится в равновесии, то и любая ее часть находится в равновесии. Рассмотрим элемент нити (рис. 3.14), который находится в равновесии под действием силы натяжения и реакции поверхности 
Предположим, что главная нормаль к нити (вектор 
и нормаль к поверхности 
не совпадают. Векторы 
лежат в плоскости, ортогональной к вектору 
поэтому 
Уравнение равновесия элемента нити имеет вид
или
Из уравнения (3.113) следует
Рис. 3.13
Рис. 3.14
Два вектора могут быть равными, если они имеют одно и то же направление, т. е. в рассматриваемом случае нормаль к нити совпадает с нормалью к поверхности 
Но вектор 
лежит в соприкасающейся плоскости, которая проходит через его, значит, линия расположения нити есть геодезическая, что и требовалось показать.
При равновесии нити в поле параллельных сил она принимает форму плоской кривой, плоскость которой параллельна направлению внешних сил (теорема 
поле параллельных сил уравнение равновесия нити имеет вид
где 
постоянный по направлению единичный вектор.
Умножив векторно уравнение (3.115) на вектор 
получим
Рассмотрим производную от векторного произведения:
но 
поэтому из (3.117) имеем
или
Вектор 
ортогонален вектору 
или, что то же, ортогонален вектору 
Кроме того, вектор 
имеет в пространстве неизменное направление, что может быть только тогда, когда нить есть плоская кривая.
При равновесии в центральном поле сил нить принимает форму плоской кривой, плоскость которой проходит через центр сил
(теорема 4). Умножим векторио уравнение равновесия на 
так как
то имеем
Рассмотрим производную
Из (3.120) следует
Постоянный вектор 
ортогонален вектору 
(ортогонален вектору в каждой точке кривой), т. е. форма нити есть плоская кривая.
Рис. 3.15
