§ 24. Стационарное движение нити в вязкой покоящейся среде

1. Рассмотрим более подробно стационарное движение абсолютно гибкого стержня в покоящейся вязкой среде. Подобного рода задачи возникают, например, при изучении процесса смотки и намотки проводников в радиотехнической и текстильной промышленности (рис. 5.13). Для покрытия изоляцией гибкий проводник пропускают через жидкость, которая при движении проводника в воздухе высыхает и покрывает его изолирующим слоем (рис. 5.14). С точки зрения производительности технологического процесса скорость движения провода желательно сделать как

Рис. 5.13

Рис. 5.14

можно больше, однако при ее увеличении растут силы сопротивления (А и, как следствие, осевое усилие Поэтому для каждого типа провода и размера свободного участка между выходом и входом существует своя предельная скорость (с учетом аэродинамических сил), при которой максимальные осевые напряжения не превышают допустимых напряжений. Для назначения оптимальных режимов процесса необходимо знать зависимость напряжения в проводе от скорости его продольного движения.

Под действием на нить силы веса и осевой силы сопротивления она в равновесии приобретает форму плоской кривой. Поэтому из системы (5.42)-(5.43) получаем (при в безразмерной форме следующие уравнения:

К уравнениям (5.54)-(5.55) следует добавить уравнение

Сила сопротивления считается постоянной по длине нити. Экспериментальному определению сил сопротивления при продольном движении нити посвящено много работ [1, 14], из которых следует, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения нити, т. е. Зависимость от скорости необходима для определения продольной скорости движения нити. Коэффициент пропорциональности а определяется экспериментально [14].

Интегрируя уравнения (5.54) и (5.55), получаем [39]

множив (1) на и (2) на у, сложив полученные выражения и проинтегрировав по в, получим [с учетом (5.56)]

Исключая из соотношений (5.57) и (5.58), имеем

Из (5.60) и (5.61) находим х и у, которые подставляем в (5.56); в результате имеем

Соотношение (5.61) можно преобразовать к виду

Введем новые переменные полагая

после чего уравнение (5.63) принимает вид

Интегрируя (5.65) и переходя к старым переменным, получаем

Следует отметить, что полученное выражение (5.66) справедливо только при так как только в этом случае конечны.

Для определения четырех постоянных имеем четыре краевых условий, например для случая, показанного на рис.

Из уравнений (5.62) и (5.66) получаем четыре алгебраических уравнения для определения

В уравнениях (5.69) и можно исключить, воспользовавшись соотношениями (5.64). Определив из (5.66) находим а затем из Определив , находим из а затем

Рис. 5.15

Решение задачи существенно упрощается в зависимости от выбранных осей. Например, для осей рис. 5.13) имеем следующие краевые условия: и, что приводит к более простым уравнениям для определения произвольных постоянных. В этом случае получаем систему уравнений (исключая для определения

2. Рассмотрим частный случай краевых условий, показанный на рис. 5.15. Имеем следующие краевые условия: Для определения получаем систему уравнений

При выражение (5.75) обращается в тождество, а из соотношений (5.64) получаем

При этих значениях из уравнений (5.73) и (5.74) можно определить

Знак произвольной постоянной найдем из условия, что при Из уравнения (5.60) получаем

откуда следует, что должно быть отрицательным. Произвольную постоянную находят из уравнения (5.69):

Определив из (5.66), получаем уравнения для определения

Определив из находим [воспользовавшись соотношением (5.62)]:

Две формы равновесия нити при стационарном движении для безразмерного параметра при двух значениях безразмерной силы сопротивления показаны на рис. 5.16. Натяжение в нити определяем из выражения

График изменения в зависимости от показан на рис. 5.17.

Из выражения (5.81) следует, что в точках (рис. 5.16) обращается в нуль, т. е. натяжение в нити в этих точках равно

3. Для нити дополнительным необходимым условием существования равновесных форм (кроме независимости всех величин от времени) является положительность натяжения так как сжимающие усилия она воспринимать не может. Из графика рис. 5.17 следует, что натяжение в нити достигает минимального значения при т. е.

Рис. 5.16

Рис. 5.17

Рис. 5.18

Рис. 5.19

Предельное значение скорости движения нити при которой возможен стационарный режим движения (возможна равновесная форма при стационарном движении в покоящейся вязкой среде), находят из условия

Возвращаясь к явным выражениям для в зависимости от (считая, что пропорционально квадрату скорости), из (5.82) получим

Из соотношения (5.83) следует, что стационарное движение нити в поле сил тяжести возможно только при наличии вязкой среда но не для всякой нити возможен стационарный режим. Стационарный режим возможен, если предельная скорость, получающаяся из (5.82), есть действительная величина, что имеет место при

Получим еще одно ограничение на скорость движения нити. Из выражения (5.80) следует, что принимает действительные значения при выполнении условия или

На рис. 5.18 показаны области значений для которых выполняются неравенства Все три неравенства выполняются в области являющейся областью возможных значений скорости движения нити. При этих скоростях возможен стационарный режим нити для случая, когда она движется от точки А к В (см. рис. 5.15). Следует подчеркнуть, что область I получена для случая, когда сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Возможны, конечно, и другие (экспериментально полученные) зависимости от

Рассмотрим случай, когда нить движется из точки В в точку А (рис. 5.19). При изменении направления движения нити изменйтся

направление сил аэродинамического сопротивления в предыдущем решении следует заменить на а выражение для произвольной постоянной взять с плюсом.

Выражение для силы в этом случае принимает вид

Сохраняя начало отсчета в точке А, из (5.86) следует, что минимальное натяжение имеет место в точке В:

Предельное значение скорости получаем из (5.87), полагая

Из (5.88) следует, что

Неравенство (5.85) остается без изменения. На рис. 5.20 показана область II, где выполняются все неравенства (5.85), (5.88) и (5.89). Область II есть область значений скоростей продольного движения нити [при движении из точки (рис. 5.18)], при которых возможен стационарный режим. Для обоих рассмотренных случаев движения нити (при имеется одна и та же критическая скорость движения, которую находим из условия

При (что эквивалентно стационарное движение существовать не может, так как координаты точек нити, как следует из (5.80), становятся мнимыми.

4. Рассмотрим движение нити по горизонтальной поверхности (рис. 5.21). 3 этом случае силы веса нити на оси не дают проекций. Сила сопротивления равна сумме двух слагаемых, зависящих от аэродинамического сопротивления нити и от трения между нитью и плоскостью. Считаем, что суммарная сила сопротивления зависит только от скорости движения нити, как и в предыдущем случае.

Рис. 5.20

Рис. 5.21

Для того чтобы исследовать этот случай, необходимо изменить только уравнение (5.55), принимающее вид

Интегрируя уравнения (5.54) и (5.91), получим

Из (5.92) и (5.93) с учетом (5.56) находим

Из уравнений (5.92) и (5.93) получим (после исключения

Исключая из и интегрируя получающееся уравнение, имеем

Так как при то из (5.96) получаем Исключая из (5.96), имеем

Из уравнений (5.95) и (5.97) следует

Удовлетворяя краевым условиям по получаем из (5.98) два уравнения для определения

и находим

Оставшуюся произвольную постоянную найдем из уравнения (5.96) при

т. е. Определив произвольные постоянные, находим [из соотношений (5.97) и (5.98)]:

Интересная особенность данной задачи заключается в том, что равновесная форма нити представляет собой две сходящиеся в точке прямые (рис. 5.22). Натяжение в нити

В точке натяжение в нити равно Этот результат можно получить и из теоремы об изменении количества движения элемента нити. Предельное значение скорости, при котором возможно стационарное движение, получим из (5.104):

т. е. при стационарное движение возможно при любой скорости. При движении нити в горизонтальной плоскости форма нити и натяжение в ней не зависят от направления движения в отличие от случая движения нити в вертикальной плоскости.

5. Рассмотренное в пп. 3 и 4 стационарное движение является частным случаем возможного в реальных условиях стационарного движения, поэтому более подробно остановимся на общем случае (рис. 5.23). Начало системы координат взято в точке, делящей расстояние между точками выхода А и входом В пополам, что упрощает решение.

Из рис. 5.23 следует, что на кривой, которая характеризует форму нити при стационарном режиме движения, имеется точка где натяжение равно нулю, и из уравнения (5.51) получаем (так как в точке

откуда и следует, что (так как в общем случае (в точке выполняется условие [это следует из уравнения (5.57)]. Перейдем в уравнении (5.55) от к независимой переменной используя соотношение Величину из (5.55) исключим, воспользовавшись уравнением (5.57), после чего получим

В точке т. е. точка есть особая точка для уравнения (5.106), поэтому свободную часть нити представим

Рис. 5.22

Рис. 5.23

состоящей из ветвей и Стыкуя решения для каждой из ветвей в точке получим общее решение. Интегрируя уравнения (5.106), имеем (для участка

После второго интегрирования получаем для участка (учитывая, что при

Аналогичное выражение можно получить и для участка

Для определения пяти произвольных постоянных имеем: три краевых условия условие стыковки решений в точке и условие, связывающее длины участков

Из условия стыковки следует

Подставив в (5.110) выражения для после преобразований и интегрирования можно получить следующее выражение для

Рассмотрим интегрирование одного из выражений для более подробно:

где

Из (5.113) получаем

или

После интегрирования (5.115) получаем (5.111). Так как , то из (5.110) имеем

Из выполнения краевых условий получаем еще три уравнения для определения :

Определив из уравнений (5.116)-(5.119) произвольные постоянные, получаем конкретную равновесную форму, которую принимает нить при заданной скорости продольного движения до и известной силе сопротивления

Натяжение в нити найдем, воспользовавшись уравнением

которое после преобразований принимает вид (для каждой из ветвей)