3. Принцип минимума потенциальной энергии.

Наиболее распространенный приближенный метод решения задач статики упругих систем основан на том, что из всех возможных равновесных состояний (которые может принять упругая система под действием внешних статически приложенных сил) она принимает такое, в котором ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, т. е. [28]

При нагружении системы внешними силами вследствие деформации системы силы совершают работу, которая переходит в потенциальную энергию системы. Это приводит к дополнительному условию

где А — работа внешних сил. Условие (2.147) справедливо только для упругих систем, у которых при деформировании энергия не расходуется на необратимые процессы. Для стержня, лежащего

на упругом основании (см. рис. 2.14), уравнения потенциальной энергии системы и работы внешних сил имеют вид

где -масса жидкости, приходящаяся на единицу длины стержня (трубки). В соответствии с результатами п. 1 имеем вариационную задачу на условный экстремум, поэтому рассмотрим вместо (2.146) функционал вида

где множитель Лаграджа.

Для упругой системы, которая подчиняется закону Гука, потенциальную энергию можно записать как квадратичную функцию от перемещений точек приложения сил:

где перемещения (линейные и угловые) сечений, где приложены сила и моменты; коэффициенты жесткости; общее число приложенных сил и моментов. Работу внешних сил при статическом нагруженни можно представить в виде

где — общее обозначение для сил и моментов.

Форма записи (2.151) для работы сил справедлива только для случая, когда перемещения совпадают с направлением приложенных сил. В более общем случае, например при пространственной деформации стержня, работу внешних сил мджно представить в виде

где -скалярное произведение. Для дальнейших преобразований важно, что потенциальная энергия системы есть однородная функция второй степени, а работа внешних сил — первой степени. Напомним основные свойства однородных функций (полиномов).

Однородными функциями называются функции, состоящие из слагаемых одного и того же измерения. Например, функция

есть однородный полином второй степени. Если умножить на общий множитель то вся функция приобретет множитель Еслн такую же операцию проделать с однородным полиномом степени, то функция приобретает множитель Это свойство является основным при определении однородных функций. Для однородной функции степени справедливо тождество

Предположим, что однородная функция степени имеет непрерывные производные по всем аргументам. Фиксируя аргументы имеем

Дифференцируя левую и правую части (2.155) по получим (используя правило дифференцирования сложной функции)

Полагая в получаем соотношение (теорема Эйлера)

Условие экстремума функционала в рассматриваемом случае записываем в виде

Умножив (2.158) на , и сложив соотношения, получим

В силу теоремы Эйлера имеем

поэтому из (2.159) получаем

Так как то из (2.160) находим множитель Лагранжа Для упругих систем, подчиняющихся закону Гука, и для

внешних сил, работу которых можно записать в виде поэтому можно рассматривать функционал (без дополнительных условий)

Можно показать, что экстремум функционала (2.161) есть максимум, поэтому экстремум

есть минимум.

Из принципа минимума потенциальной энергии [функционала (2.162)], так же как и из принципа возможных перемещений, может быть выведено уравнение равновесия стержня. Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие

является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Возникает необходимость в разработке методов решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. Одним из таких методов является метод Ритца.

Для прямолинейных стержней функционал зависит от прогибов стержня и их первых производных:

поэтому представим у в виде ряда с неопределенными коэффициентами

где неопределенные коэффициенты; известные функции, удовлетворяющие только геометрическим краевым условиям в отличие от приближенного метода решения по принципу возможных перемещений, когда необходимо, чтобы аппроксимирующие функции удовлетворяли как геометрическим, так и силовым краевым условиям.

В качестве таких функций могут быть взяты ортогональные полиномы (в данном случае более простые), которые будут рассмотрены в § 10. После подстановки выражения для у в функционал получаем

что приводит к системе уравнений для определения неизвестных коэффициентов

Определив из получаем приближенное выражение для у. Найдем приближенное выражение для прогибов стержня для случая, показанного на рис. 2.14. Для получения воспользуемся выражением для :

Представим (2.168) в безразмерной форме: 1

где

Ограничимся двучленным приближением, приняв

Подставив (2.170) в выражение (2.169), после преобразований получаем два независимых уравнения для определения

или

Из полученных выражений для можно найти критическое значение скорости течения жидкости, при которой возможна статическая неустойчивость трубки, лежащей на упругом основании. Минимальное значение скорости найдем из условия равенства нулю знаменателя выражения (2.172):