§ 41. Определение частот и форм колебаний пространственно-криволинейных стержней

1. Определение частот колебаний стержня.

При определении частот колебаний удобнее использовать уравнения, содержащие что приводит к системе векторных уравнений первого порядка относительно производных по

При исследовании свободных кцлебаний стержня следует в уравнениях положить что приводит к следующей однородной системе векторных уравнений:

Уравнения малых колебаний стержня более удобны при определении частот, так как для удовлетворения краевым условиям необходимо иметь среди неизвестных функций момент

Решение системы ищем в виде

где безразмерная частота.

После преобразований получаем систему уравнений относительно векторов

Для дальнейших преобразований исключим из уравнений (8.56) и (8.57)

Систему уравнений (8.56)-(8.59) можно представить в виде одного векторного уравнения

где

Векторное уравнение (8.62) эквивалентно системе двенадцати уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Элементы матрицы В зависят от начального напряженного состояния и от геометрии осевой линии стержня, которые являются функциями . В общем случае стержень имеет переменное сечение. Элементы матрицы В по-прежнему являются функцией . В частном случае свободных колебаний ненагруженного стержня матрицы нулевые, а матрица В принимает вид

Методы численного решения линейных уравнений, аналогичных уравнению (8.62), подробно изложены в гл. 2, но в гл. 2 рассматривались уравнения четвертого порядка, а уравнение (8.62) — двенадцатого порядка. Основная особенность уравнения (8.62) заключается в том, что элементы матрицы В содержат неизвестный параметр (безразмерную частоту). Последний находят из условия, что решение уравнения (8.62) должно удовлетворять краевым условиям задачи (шесть условий при и шесть при Точное решение уравнения (8.62) даже для случая, когда элементы матрицы В — постоянные числа, получить очень сложно, поэтому используют численный метод определения частот.

Задавшись значением , находим (численно) решение (8.62):

Для получения фундаментальной матрицы уравнение (8.62) решают двенадцать раз. Для однородных краевых условий шесть компонент вектора равны нулю, так как при шесть компонент вектора равны нулю.

Оставшиеся шесть компонент вектора находят из шести условий при Для оставшихся компонент вектора получаем систему шести однородных уравнений вида

Индексы в зависимости от конкретных краевых условий принимают шесть значений. Например, если правый конец стержня свободен то индексы Для того чтобы система (8.65) имела отличное от нуля решение, необходимо, чтобы определитель системы был равен нулю. Вводя для определителя системы (8.65) обозначение получаем

Решая уравнение (8.62) для ряда значений X, находим (численно) такое при котором определитель с заданной степенью точности равен нулю. Значения при которых определитель является частотами стержня. Для численного определения частот могут быть использованы и другие методы, например, метод прогонки [2].