Глава I. Сведения из векторного анализа

Необходимость применения векторного и тензорного исчисления в современной механике деформируемых тел вызвана не только компактностью преобразований, но и объективными свойствами изучаемых явдений [19, 21].

В механике деформируемого тела рассматривают физические величины (векторы и тензоры), не зависящие от выбора системы координат, но иногда их удобнее изучать в некоторых специально выбранных системах координат. Векторы и тензоры в каждой из систем координат задаются совокупностью величин, называемых компонентами вектора или тензора. Если эти компоненты заданы в одной системе координат, то они определены и в любой другой системе, ибо определение вектора и тензора включает и закон преобразования их компонент при переходе от одной системы координат (базиса) к другой. Одним из важнейших достоинств векторного исчисления является то, что уравнения, характеризующие состояние механической системы (уравнения равновесия или движения) можно формулировать в инвариантной форме по отношению к координатным системам.

§ 1. Основные положения векторной алгебры

1. Скаляры и векторы.

Скалярной величиной называется величина, характеризуемая только числом (например температура, работа и т. д.). Часто рассматривают величины, для определения которых кроме численного значения необходимо указать Направление (например скорость точки, момент силы и т. д.).

Величина, характеризуемая не только числом, но и направлением в пространстве, называется вектором. Длина вектора а является его количественной характеристикой и называется модулем вектора Векторы называются равными, если они имеют одинаковые модули и одинаковые направления. Единичным вектором называется вектор, модуль которого равен единице.