Воспользовавшись тождеством Лагранжа (1.38)
получим
или
Так как а — произвольный не равный нулю вектор, то тождественное равенство нулю векторного произведения (4.20) в наиболее общем случае возможно при условии
Соотношение (4.21) и есть искомое уравнение, связывающее векторы со и 
Возможна и другая форма записи уравнения (4.21) через абсолютные частные производные. Так как
то, подставив (4.22) в (4.21), получаем
В проекциях на связанные оси имеем из (4.23)
В частном случае, когда кривая является плоской, получаем
Так как для плоской кривой 
то уравнение (4.23) превращается в тождество. Если в (4.24) подставить 
выраженные через углы 
то уравнения обращаются в тождества. В ряде случаев при исследовании колебаний стержней и нитей нет необходимости определять углы 
тогда 
и 
являются неизвестными, связанными системой уравнений (4.24).
постоянный по модулю и направлению в связанной системе координат; так как для вектора, постоянного по модулю, локальные производные равны нулю 
то полные производные а по 
а (4.18) по 
и приравняв смешанные производные после преобразований, находим
