2. Пространственная кривая.

Касательная к пространственной кривой определяется так же, как и для случая плоской кривой. Для кривой в пространстве к касательной в точке можно провести бесчисленное множество нормалей, лежащих в плоскости, перпендикулярной к вектору (рис. 1 14). Возьмем точку В, близкую к точке А. Пространственную дугу можно приближенно считать дугой плоской кривой. Плоскость, проходящую через касательную и точку В, можно считать плоскостью, в которой лежит дуга При эта плоскость займет строго определенное положение, которое характеризуется наиболее плотным прилеганием кривой юэтой плоскости. Эта плоскость называется соприкасающейся плоскостью к пространственной кривой в точке А.

Рис. 1.14

Рис. 1.15

Главной нормалью к пространственной кривой в точке А называется нормаль расположенная в соприкасающейся плоскости.

Дугу А В можно приближенно считать как часть соприкасающейся окружности, лежащей в соприкасающейся плоскости. Ее центр находится на главной нормали к кривой.

Отрезок ортогональный к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Покажем, что вектор, равный второй производной от радиус-вектора лежит в соприкасающейся плоскости. На рис. 1.15 показана соприкасающаяся плоскость в точке кривой А. Возьмем точку В на кривой, близкую к точке А. Кратчайшее расстояние точки В от плоскости равно

где единичный вектор, ортогональный к плоскости Разложив в ряд Тейлора, получим

или

Вектор ортогонален вектору поэтому

Соприкасающаяся плоскость есть плоскость, к которой наиболее плотно прилегает кривая в точке касания, т. е. должно быть минимальным. Справедливо и обратное утверждение — если кривая наиболее плотно прилегает к плоскости то эта плоскость — соприкасающаяся. Наиболее плотно кривая

будет прилегать в точке касания к плоскости, если эту плоскость провести через векторы . В этом случае и разложение в ряд (1.94) начнется только со слагаемого, содержащего вектор (ортогональный к вектору лежит в соприкасающейся плоскости.

Вводя единичный вектор нормали вектор можно представить в виде

Если взять произвольную точку С (рис. 1.15), лежащую в соприкасающейся плоскости, то векторы лежат в одной плоскости, поэтому должно выполняться условие (1.51)

которое является уравнением соприкасающейся плоскости. Для случая параметрического задания кривой в декартовой системе координат условие (1.96) эквивалентно

В соприкасающейся плоскости можно провести соприкасающуюся окружность (см. рис. 1.15), что по аналогии с плоской кривой дает возможность получить одну из геометрических характеристик пространственной кривой — радиус кривизны или обратную ему величину — кривизну кривой в произвольной точке. Так как приращение вектора лежит в соприкасающейся плоскости, то, возвращаясь к соотношению (1.95), имеем

т.е.

и из (1.95) получаем

Если на базисные векторы ортогонального базиса, связанного с пространственной кривой, дополнительные условия не наложены (например, чтобы они совпадали с главными осями сечения стержня), то целесообразно вектор направить по главной нормали, а вектор по бинормали (см. рис. 1.14). Такой базис

(триедр) называется естественным или натуральным. При перемещении естественного трехгранника по пространственной кривой положение векторов непрерывно изменяется, поэтому, рассмотрев производные по имеем в соответствии с общим случаем (1.52)

или

Основное отличие соотношений (1.60) от (1.101) заключается в том, что при выводе соотношений (1.60) никаких дополнительных условий на направление вектора не накладывалось (кроме основного условия, что вектор ортогонален При выводе соотношений (1.101) направление вектора строго определено — вектор направлен по нормали к кривой, что является частным случаем связанного трехгранника осей. Вектор, характеризующий геометрические свойства кривой и представленный через проекции на оси естественного трехгранника, принято обозначать и называть вектором Дарбу. В дальнейшем для этих векторов используют единое обозначение как для случая, когда используются естественные оси (в механике нитей), так и для случая общих связанных осей. Из сопоставления выражений (1.99) и (1.101) следует

Найдем проекцию вектора . Вектор ортогонален вектору Кроме того, этот вектор, как следует из правой части (1.101), лежит в плоскости а (проходящей через точку ортогональной к соприкасающейся плоскости (так как поэтому можно рассмотреть изменение направления вектора в плоскости (рис. 1.16).

Из рисунка следует

поэтому из (1.101) и (1.103) следует

где кручение кривой.

Рис. 1.16

Рис. 1.17

Для плоской кривой . Следует подчеркнуть, что угол который входит в выражения (1.74) — (1.76), и угол разные углы. Производная характеризует скорость вращения трехгранника осей, вызванную особенностями решаемой задачи, как, например, при рассмотрении естественно закрученного стержня (рис. 1.17). Производная (кручение) целиком и полностью определяется формой пространственной кривой. Знак «минус» перед кручением (или в формуле для производной вектора появляется потому, что при положительном повороте триедра относительно касательной на угол вектор, равный приращению направлен против вектора

Величина характеризует еще одно свойство пространственных кривых — кручение (мера уклонения кривой от соприкасающейся плоскости). Окончательно получаем следующие выражения для производных единичных векторов натурального базиса (формула Френе-Серре [25]):

Вектор

называется вектором Дарбу.

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Выражения для вторых производных единичных векторов естественного трехгранника осей