§ 30. Уравнения колебаний стержня с учетом инерции вращения и сдвига
Получим уравнения малых колебаний стержня переменного сечения, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой 
(рис. 6.12). Рассмотрим элемент стержня 
(рис. 6.13, а). С учетом деформаций сдвига торцовые сечения элемента повернутся 
дополнительный угол 
поэтому полный угол поворота элемента
Получим уравнение, связывающее перерезывающую силу 
с углом сдвига 
Выразим энергию сдвига, накопленную в элементе, через работу силы 
При статическом нагружении имеем
Так как 
то после подстановки и преобразований из соотношения (6.25) получим
Для удобства введем безразмерный коэффициент 
Элемент стержня со всеми действующими на него силами и моментами показан на рис. 6.9, б. Рассматривается случай, когда распределенная нагрузка 
(см. рис. 6.9, б) сохраняет при колебаниях стержня свое направление.
Рис. 6.12
Рис. 6.13
1. Уравнение поступательного движения элемента стержня.
Проектируя все силы на ось у, получим
где 
сила инерции; 
сила сопротивления. Так как 
где 
масса единицы длины стержня; 
площадь поперечного сечения стержня), то после преобразований получим следующее уравнение поступательного движения стержня:
Считая, что силу сопротивления при поступательном движении стержня можно представить в виде
(где 
- коэффициент пропорциональности), получим
