2.6. Примеры

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих идеи, развитые в предыдущих параграфах. Эти примеры принадлежат к так называемым «задачам комбинаторного типа» и характерны для широкого круга проблем теории вероятностей. Блестящее и подробное рассмотрение задач такого рода содержится в книге Феллера (I).

Пример 2.6.1. Вытаскивание карт. Рассмотрим задачу о вытаскивании карт из колоды игральных карт. Колода игральных карт содержит 52 карты, разделяющиеся на 4 различные масти по 13 карт в каждой, начиная от двойки и кончая тузом. Предположим, что колода тщательно стасована, так что вытаскивание любой карты одинаково вероятно.

Пусть полной колоды вытаскивается одна карта. Какова вероятность того, что этой картой окажется король бубен. Ранее мы предположили, что различные события состоящие в вытаскивании какой-либо отдельной карты, равновероятны и, следовательно, все равны некоторому числу . Вытаскивания различных карт являются попарно несовместимыми событиями, и поэтому

Следовательно, для любой карты и, в частности,

Спросим теперь: какова вероятность, что вытащенной картой окажется король любой из четырех мастей? Поскольку в колоде имеются четыре короля и поскольку вытаскивания различных королей являются попарно несовместимыми событиями,

Следовательно,

В общем случае мы видим, что когда мы имеем дело с совокупностью равновероятных несовместимых элементарных событий, вероятность какого-либо события (элементарного или составного) равна отношению числа благоприятных элементарных событий, т. е. тех, при которых интересующее нас событие происходит, к полному числу всех возможных элементарных событий.

Предположим теперь, что мы вытаскиваем из полной колоды две карты. Какова вероятность того, что мы вытащим короля и даму не обязательно одной и той же масти? Это событие может произойти двумя способами: мы можем вытащить либо сначала короля, а потом даму, либо, наоборот, сначала даму, а затем короля. В символической форме

Из проведенного выше рассмотрения условных вероятностей следует, что

и

Если мы вытащили короля (даму), то в колоде остается 51 карта, среди которых содержатся все четыре дамы (короля). Следовательно,

используя полученные ранее результаты, находим, что

Этот же результат можно было бы, конечно, получить непосредственно, вычислив отношение числа благоприятных элементарных событий к полному числу всех возможных элементарных событий.

Пример 2.6.2. Бросания монеты. Рассмотрим теперь бросания монеты, причем будем предполагать, что последовательные бросания являются статистически независимыми экспериментами. Однако мы не будем делать никаких предположений о правильности монеты и потому напишем

так как выпадение герба (Г) и выпадение решетки (Р) являются событиями несовместимыми. Такие бросания называют испытаниями Бернулли.

Пусть монета подброшена N раз. Какова вероятность того, что при этом раз выпадет герб? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала некоторую элементарную последовательность результатов N бросаний, в которой герб выпал раз. В силу статистической независимости последовательных бросаний монеты, вероятность образования нашей элементарной последовательности есть просто произведение вероятностей выпадения гербов и решеток:

Однако эта элементарная последовательность является не единственной, при которой из N бросаний приводят к выпадению герба. Вероятность образования какой-либо из возможных последовательностей такого рода равна полному числу таких последовательностей, умноженному на вероятность появления одной из них, ибо мы имеем дело с попарно несовместимыми (составными) равновероятными событиями.

Определим теперь общее число различных возможных последовательностей результатов N бросаний, при которых герб выпадает раз. Если бы результаты всех N бросаний были различными, то мы имели бы

различных последовательностей. Однако не все бросания дают различные результаты; из них приводят к выпадению герба и к выпадению решетки. Таким образом, среди последовательностей имеется по дубликатов, возникающих из-за того, что невозможно отличить одно выпадение герба от другого, и по дубликатов, возникающих из-за того, что то же относится к решеткам. Поэтому общее возможное число различных последовательностей, в которых при N бросаниях герб выпадает раз, определяется биномиальным коэффициентом

Полная вероятность появления одной из таких последовательностей с выпадениями герба в N бросаниях равна, следовательно,

Совокупность вероятностей, соответствующих различным возможным значениям называют биномиальным распределением.