11.5. Другие задачи фильтрации, использующие критерий среднеквадратичной ошибки

Фильтр Филлипса с наименьшей среднеквадратичной ошибкой.

До настоящего момента мы занимались отысканием наилучшего линейного фильтра с фиксированными параметрами, предназначенного для сглаживания и прогнозирования. Менее интересной теоретически, но практически полезной модификацией этого подхода является задача об отыскании наилучшего фильтра, когда форма его функции передачи задана и можно свободно выбирать лишь конечное число параметров фильтра. При использовании метода Винера для отыскания оптимального фильтра, который мы рассматривали до сих пор, и после отыскания такого фильтра остается одна весьма существенная трудность, состоящая в синтезировании фильтра, функция передачи которого аппроксимировала бы функцию

передачи оптимального фильтра. В частности, так обстоит дело в устройствах, содержащих сервомеханизмы, например в автоматических следящих устройствах радиолокационных установок. С другой стороны, если заранее предположено, что функция передачи имеет определенную форму, заведомо допускающую практическое выполнение фильтра (или сервомеханизма), то решение задачи о наилучших значениях параметров определит просто размеры и величины элементов фильтра. Конечно, при таком ограничении класса фильтров, вообще говоря, возрастает минимальная достижимая ошибка. Таким образом, в принципе приносится в жертву качество фильтра. Вместе с тем приближения, используемые на практике при синтезе фильтра, который бы обладал найденной методом Винера функцией передачи могут привести к тому, что его действие окажется не лучше, чем действие фильтра, построенного методом, кратко излагаемым в настоящем разделе.

Филлипс подробно описал метод отыскания оптимального сглаживающего фильтра для случая, когда функция передачи должна быть рациональной функцией с числителем и знаменателем определенных степеней. В общих чертах его метод сводится к следующему. Входной сигнал и шум предполагаются выборочными функциями стационарных вероятностных процессов. Тогда ошибка, определяемая выражением

также является стационарным вероятностным процессом и имеет спектральную плотность . Спектральная плотность ошибки может быть найдена непосредственно из равенства (11.4) и равна (см. задачу 9)

Среднеквадратичная ошибка равна

где в качестве взята рациональная функция с числителем и знаменателем фиксированных степеней. Тогда, если функции рациональны, то и также рациональна. В этом случае интеграл (11.59) вычисляется с помощью

мощью метода вычетов, причем параметры функции при вычислениях записываются в буквенной форме. Далее параметры выбираются так, чтобы обеспечить минимум Полное описание метода и примеры читатель может найти в соответствующей литературе.

Обобщения и видоизменения теории.

Теория наилучшего линейного прогнозирования и сглаживания, развитая в предыдущих параграфах, может быть расширена и модифицирована различными путями. Например, вместо отыскания сглаженного и прогнозируемого значения можно поставить себе задачей отыскание наилучшего прогноза для значения или других линейных функционалов от сигнала. Техника решения таких задач аналогична технике решения основной задачи о сглаживании и прогнозировании. Сглаживание и прогнозирование можно осуществить также, когда имеется много сигналов и шумов с известными корреляционными и взаимными корреляционными функциями. Условие, состоящее в том, что входной сигнал и шум являются стационарными процессами, может быть опущено; в этом случае получается интегральное уравнение, аналогичное (11.9), но включающее корреляционные функции, зависящие от двух переменных. К сигналу могут быть добавлены полиномы с неизвестными коэффициентами. Время наблюдения может считаться конечным, а не бесконечным; эту задачу мы рассмотрим более детально в следующем параграфе. Подробное рассмотрение вопросов конструирования линейных систем, оптимальных с точки зрения среднеквадратичной ошибки, со многими примерами читатель найдет в гл. 5 - 8 книги Лэнинга и Бэттина (I).