8.6. Сумма синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского вероятностного процесса

В заключение этой главы выведем выражения для плотности распределения вероятностей огибающей и фазового угла суммы синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского вероятностного процесса.

Пусть — выборочная функция стационарного узкополосного гауссовского вероятностного процесса, и пусть

где — постоянная, а случайная величина равномерно распределена в интервале и независима с гауссовским вероятностным процессом. Используя равенство (8.82), мы можем написать

где

Если мы представим при помощи огибающей и фазы,

то тогда

следовательно,

Случайные величины являются, как и в § 8.5, независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними значениями и дисперсией . Следовательно, плотность совместного распределения величин равна

при

Значит, плотность совместного распределения величин есть

Интегрируя это выражение по мы можем найти плотность распределения величины . При

где . Поскольку экспонента в подинтегральном выражении является периодической функцией от , мы можем интегрировать по 0 в интервале тогда для плотности распределения

деления суммы синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского вероятностного процесса получим равенство

При этот результат сводится к выражению (8.91).

При больших значениях аргумента имеет место следующее асимптотическое разложение для модифицированной функции Бесселя:

Следовательно, при получаем приближенную формулу

Таким образом, если амплитуда Р синусоидального сигнала велика по сравнению с близко к Р, то плотность распределения вероятностей огибающей суммарного процесса приближенно является гауссовской.

Плотность совместного распределения фазовых углов может быть получена из совместной плотности величин интегрированием по . Итак, согласно равенству (8.114),

откуда находим, дополняя до квадрата суммы, что

где Отсюда, полагая получаем

Первый интеграл преобразуется к виду Подинтегральная функция во втором интеграле является четной, и поэтому

где . Входящий сюда интеграл равен функции распределения гауссовской случайной величины, умноженной на Если амплитуда синусоидального сигнала равна нулю, то равенство (8.118) сводится к

чего и следовало ожидать.

Используя равенство (8.4), мы можем получить, исходя из (8.118), приближенную формулу для плотности совместного распределения вероятностей фазовых углов

где

В этом и предыдущем параграфах нашей целью был вывод некоторых важных статистических свойств узкополосного гауссовского вероятностного процесса. Дальнейшие результаты можно найти в технической литературе, в частности в работах Райса.