8.6. Сумма синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского вероятностного процесса
В заключение этой главы выведем выражения для плотности распределения вероятностей огибающей и фазового угла суммы синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского вероятностного процесса.
Пусть
— выборочная функция стационарного узкополосного гауссовского вероятностного процесса, и пусть
где
— постоянная, а случайная величина
равномерно распределена в интервале
и независима с гауссовским вероятностным процессом. Используя равенство (8.82), мы можем написать
где
Если мы представим
при помощи огибающей и фазы,
то тогда
следовательно,
Случайные величины
являются, как и в § 8.5, независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними значениями и дисперсией
. Следовательно, плотность совместного распределения величин
равна
при
Значит, плотность совместного распределения величин
есть
Интегрируя это выражение по
мы можем найти плотность распределения величины
. При
где
. Поскольку экспонента в подинтегральном выражении является периодической функцией от
, мы можем интегрировать по 0 в интервале
тогда для плотности распределения
деления суммы синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского вероятностного процесса получим равенство
При
этот результат сводится к выражению (8.91).
При больших значениях аргумента имеет место следующее асимптотическое разложение для модифицированной функции Бесселя:
Следовательно, при
получаем приближенную формулу
Таким образом, если амплитуда Р синусоидального сигнала велика по сравнению с
близко к Р, то плотность распределения вероятностей огибающей суммарного процесса приближенно является гауссовской.
Плотность совместного распределения фазовых углов
может быть получена из совместной плотности величин
интегрированием по
. Итак, согласно равенству (8.114),
откуда находим, дополняя до квадрата суммы, что
где
Отсюда, полагая
получаем
Первый интеграл преобразуется к виду
Подинтегральная функция во втором интеграле является четной, и поэтому
где
. Входящий сюда интеграл равен функции распределения гауссовской случайной величины, умноженной на
Если амплитуда синусоидального сигнала равна нулю, то равенство (8.118) сводится к
чего и следовало ожидать.
Используя равенство (8.4), мы можем получить, исходя из (8.118), приближенную формулу для плотности совместного распределения вероятностей фазовых углов
где
В этом и предыдущем параграфах нашей целью был вывод некоторых важных статистических свойств узкополосного гауссовского вероятностного процесса. Дальнейшие результаты можно найти в технической литературе, в частности в работах Райса.