Глава 9. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

В предыдущих главах мы ввели понятия случайной величины и вероятностного процесса и рассмотрели некоторые из их статистических свойств. В оставшихся главах этой книги мы используем развитые выше идеи для исследования результатов прохождения вероятностных процессов через системы различных видов. Так, например, в этой и двух последующих главах мы проведем такие исследования применительно к линейным системам; в частности, в настоящей главе мы рассмотрим основные понятия теории линейных систем, в следующей главе изучим вопросы, относящиеся к шумам в усилителях, и, наконец, в гл. 11 рассмотрим задачу оптимизации линейной системы.

9.1. Элементы теории линейных систем

Предполагается, что читатель в общем знаком с методами анализа линейных систем. Тем не менее мы приведем здесь обзор некоторых элементов этой теории.

Функция передачи системы. Предположим, что, как показано на фиг. 9.1, — соответственно воздействие на линейную систему с фиксированными параметрами и отклик

Фиг. 9.1. Линейная система.

Говоря, что система имеет фиксированные параметры, мы подразумеваем, что если воздействие вызывает отклик то воздействие вызывает отклик Называя систему линейной, мы подразумеваем, что если воздействие вызывает отклик то воздействие

вызывает отклик

Примером такой системы может служить всякое устройство, описываемое системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Если на вход линейной системы с фиксированными параметрами в течение неограниченно долгого времени подавалось воздействие

где а» — действительное число, и если спустя это неограниченное время отклик существует, то он имеет ту же форму, т. е.

где А не зависит от . В самом деле предположим, что воздействие вида имеющее место, начиная с , создает на выходе вполне определенный отклик который называется стационарным откликом системы. Тогда, если система обладает фиксированными параметрами, воздействие

вызывает отклик Так как не зависит от t и система линейна, то воздействие вызывает отклик . Следовательно,

Положив получаем, что

есть отклик системы на воздействие и мы доказали наше утверждение при Если теперь воздействие имеет комплексную амплитуду т. е. если

то отклик имеет вид

что мы можем записать в виде

Отношение А комплексных амплитуд отклика и воздействия является функцией от и мы будем обозначать его через итак,

Функция называется функцией передачи для данной линейной системы с фиксированными параметрами. Следует отметить, что в линейной системе с фиксированными параметрами может не существовать вполне определенного отклика, если на нее подается в течение неограниченно долгого времени воздействие вида примером может служить LC-контур без потерь с резонансной частотой Это обстоятельство связано с понятием устойчивости, которое мы обсудим кратко несколько ниже.

Предположим, что воздействие является периодической функцией времени, имеющей сходящийся ряд Фурье. Тогда мы можем написать

где

— основной период, а комплексные коэффициенты определяются формулой

Из (9.3) следует, что

есть отклик системы на компоненту воздействия

В силу линейности системы, полный отклик на воздействие равен сумме компонент отклика . Таким образом,

представляет собой стационарный отклик линейной системы с фиксированными параметрами на воздействие в форме периодической функции (9.4).

Пусть теперь воздействие является нестационарным и как функция времени имеет преобразование Фурье. Полученный нами выше результат для случая ряда Фурье можно эвристически распространить на этот случай следующим образом. Предположим, что мы заменили нестационарное воздействие периодическим:

где коэффициенты определяются по при помощи

равенства (9.6). Соответствующий периодический отклик, согласно (9.7), будет иметь вид

Умножая и деля оба выражения на и учитывая, что является приращением для получаем

и

Если мы теперь положим так, чтобы то из (9.6) будет следовать, что

где — преобразование Фурье нестационарного воздействия, и, следовательно,

и

Таким образом, отклик системы выражается преобразованием Фурье от

т. е. преобразование Фурье отклика линейной системы с фиксированными параметрами на нестационарное воздействие равно произведению преобразования Фурье этого воздействия на функцию передачи системы [в предположении, что интеграл (9.10) сходится].

Отклик на единичный импульс.

В теории линейных систем особую роль играет нестационарное воздействие в форме единичного импульса

Как показано в приложении I, преобразование Фурье от такой функции для всех равно единице:

Преобразование Фурье от соответствующего отклика, согласно (9.11), равно

и, следовательно, сам отклик, согласно (9.10), равен

Итак, отклик на единичный импульс линейной системы с фиксированными параметрами выражается преобразованием Фурье от функции передачи системы наоборот,

Если отклик на единичный импульс при отрицательных значениях t равен нулю, т. е. если

то соответствующая линейная система называется физически осуществимой.

Свертка.

Отклик линейной системы с фиксированными параметрами на нестационарное воздействие можно выразить через отклик системы на единичный импульс, подставляя в (9.10) выражение (9.16) для функции передачи. При этом мы получаем

Интеграл по представляет собой обратное преобразование Фурье от вычисленное при (т. е. воздействие в момент ). Следовательно,

С другой стороны, выражая в (9.10) через просто делая замену переменных в (9.18), получаем

Эти интегралы, называемые свертками, показывают, что линейную систему с фиксированными параметрами можно охарактеризовать интегральным оператором. При этом отклик системы выражается как среднее от воздействия за истекшее время, взятое с весом, равным отклику системы на единичный импульс; поэтому отклик на единичный импульс иногда называют весовой функцией соответствующей линейной системы.

Фиг. 9 2. Свертка

Поскольку в физически осуществимой линейной системе отклик на единичный импульс при отрицательных значениях аргумента равен нулю, мы можем в равенстве (9.18) заменить бесконечный нижний предел интегрирования нулем:

Если мы, далее, предположим, что воздействие было равно нулю до момента (как это показано на фиг. 9.2), то верхний предел со можно заменить на . Таким образом, отклик физически осуществимой линейной системы на воздействие, возникающее в момент запишется в виде

Дальнейшие рассуждения, быть может, помогут приобрести некоторую интуицию в обращении со свертками. Рассмотрим отклик физически осуществимой линейной системы в некоторый

фиксированный момент времени Пусть воздействие в интервале , аппроксимировано совокупностью неперекрывающихся прямоугольных импульсов ширины причем

Так как система линейна, то отклик ее в момент равен сумме откликов, вызванных N предшествующими прямоугольными импульсами.

Рассмотрим теперь отклик в момент вызванный одним импульсом, поданным на вход в более ранний момент где . При ширина входного импульса стремится к нулю и вызванный этим импульсом отклик приближается к отклику, который имел бы место от единичного импульса, поданного на вход в тот же момент времени и равного по площади заданному прямоугольному импульсу, т. е. равного по площади . Отклик системы в момент на единичный импульс, поданный в момент равен следовательно, отклик в момент на рассматриваемый прямоугольный импульс равен приближенно . Значит, общий отклик в момент равен приближенно

Если мы теперь положим так, чтобы то получим

что при совпадает с равенством (9.20).

Линейная система с фиксированными параметрами называется устойчивой, если всякое воздействие на систему, являющееся ограниченной функцией времени, вызывает отклик, также являющийся ограниченной функцией времени. Условия, которые надо наложить на отклик на единичный импульс, чтобы обеспечить устойчивость, можно получить следующим образом. Из равенства (9.18) вытекает, что

Если воздействие ограничено, то существует положительная константа А, такая, что для всех t

Следовательно, при таком воздействии для всех t

Таким образом, если отклик на единичный импульс абсолютно интегрируем, т. е. если

то отклик системы на ограниченное воздействие ограничен и система устойчива. С другой стороны, можно показать, что если функция не интегрируема, то система неустойчива.

Часто оказывается полезным расширить введенное нами определение функции передачи системы и рассматривать ее как функцию комплексного переменного Пусть определяется комплексным преобразованием Фурье

в той области плоскости р, где этот интеграл существует. При равенство (9.21) сводится к ранее выписанному выражению (9.16) для функции передачи системы. Если, в частности, система физически осуществима и устойчива, т. е. если функция равна 0 при и интегрируема, то интеграл (9.21) сходится равномерно при всех Следовательно, для всех , у которых функция оказывается равномерно ограниченной (т. е. для всех ). Обычными приемами можно показать, что при тех же условиях является на самом деле аналитической функцией для всех , у которых Таким образом, ни на оси ни в правой полуплоскости плоскости функция не может иметь полюсов. Можно доказать и обратное утверждение: если является при всех , у которых ограниченной аналитической функцией и если удовлетворяет соответствующему условию, определяющему ее поведение при больших , то преобразование Фурье от будет функцией от t, обращающейся в нуль при иными словами, преобразование Фурье от будет откликом физически осуществимой системы на импульсное воздействие. Действительно, если интегрируема

руема в квадрате вдоль оси то для некоторой функции

(где сходимость интеграла понимается в смысле сходимости в среднем). Более подробное рассмотрение свойств как функции комплексного переменного читатель может найти в других книгах. Мы в дальнейшем, как правило, будем рассматривать только устойчивые линейные системы.

Вычисление функций передачи многополюсников.

В некоторых из дальнейших построений нам окажется необходимым рассматривать линейные системы с несколькими входами. Поэтому мы приведем здесь некоторые соотношения, связывающие воздействия и отклик устойчивой линейной системы с N входами и одним выходом. В силу линейности системы, мы можем представить ее отклик как сумму слагаемых

где есть часть отклика, обусловленная воздействием иными словами, равен если все воздействия, кроме равны нулю. Теперь задача сводится к нахождению при заданном

Предположим, что воздействие на входе является синусоидальной функцией времени а воздействия на всех остальных входах равны нулю. Тогда мы можем определить функцию передачи системы описывающую связь между выходом и входом,

где — комплексная амплитуда возникающего отклика. Мы можем также определить отклик на единичный импульс как преобразование Фурье от

Функция представляет собой отклик системы при подаче единичного импульса на вход и отсутствии воздействий на остальных входах.

Интересен тот частный случай, когда рассматриваемая система является -полюсником, изображенным на фиг. 9.3. Нам желательно выразить функции передачи через более привычные величины импедансов и проводимостей схемы.

Фиг. 9.3. -полюсник.

Предполагая воздействие синусоидальным, мы можем написать

где в общем случае являются комплексными функциями частоты. Соотношения между токами и напряжениями на парах зажимов могут быть выражены системой уравнений:

где коэффициенты — так называемые переходные проводимости короткого замыкания. Если мы обратим в нуль все входные напряжения, кроме (т. е. закоротим все входы, кроме ), то уравнения (9.25) примут вид

Тогда, решая их относительно проводимостей получим

Итак, проводимость равна отношению комплексной амплитуды

тока короткого замыкания в паре зажимов к комплексной амплитуде напряжения, приложенного к паре зажимов (когда все прочие пары зажимов замкнуты); отсюда и происходит название «переходная проводимость короткого замыкания». Если для всех значений

то говорят, что многополюсник удовлетворяет условию взаимности.

Фиг. 9.4. Эквивалентная схема Тевенена.

На данном этапе удобно ввести для нашего многополюсника, рассматриваемого со стороны выходных зажимов, эквивалентную схему Тевенена. Такая эквивалентная схема, изображенная на фиг. 9.4, состоит из генератора, напряжение которого равно напряжению холостого хода на выходе исходного многополюсника, и включенного последовательно импеданса равного импедансу исходного многополюсника со стороны выхода при всех короткозамкнутых входах. Из такого определения выходного импеданса и равенств (9.25) вытекает, что

и, следовательно,

т. е. выходной импеданс равен величине, обратной к проводимости короткого замыкания со стороны выходной пары зажимов.

Определим теперь выходное напряжение холостого хода, обусловленное входными напряжениями Замыкая накоротко выходные зажимы, имеем, согласно эквивалентной схеме Тевенена,

Выходной ток короткого замыкания протекающий под действием заданной системы входных напряжений, находится из первого из уравнений (9.25):

Таким образом, выходное напряжение холостого хода (XX)

можно выразить через входные напряжения с помощью равенств

Из определения функций передачи системы тогда следует, что

Сравнивая между собой последние два выражения, видим, что функции передачи можно следующим образом выразить через переходные проводимости короткого замыкания:

Мы используем эти результаты позже при изучении теплового шума в линейных цепях.