11.4. Решение уравнения прогнозирования и фильтрации

Мы хотим теперь получить решение интегрального уравнения прогнозирования и фильтрации (11.9) использующее все бесконечное прошлое. Мы ограничимся лишь тем случаем, когда спектральная плотность входного воздействия является рациональной функцией. Уравнение (11.9) можно решить при более общих условиях, и метод решения остается тем же самым. Однако имеется трудность с представлением спектральной плотности в виде произведения, что очень просто, если рациональна, и требует использования более глубоких фактов теории функций, если не рациональна 1). Известная техника аппроксимации произвольных спектральных плотностей рациональными функциями на практике часто позволяет рассматривать только случай рациональной спектральной плотности.

Трудность решения уравнения (11.9) связана главным образом с тем, что должна обращаться в нуль на половине действительной оси. В самом деле, в § 11.2 мы видели, что если отказаться от этого условия (т. е. допустить фильтр с бесконечной задержкой), то интегральное уравнение приводится к виду, допускающему непосредственное решение с помощью преобразования Фурье. Искусственный прием, используемый для решения уравнения (11.9), состоит в том, что разделяется на две части, одна из которых является преобразованием Фурье от функции, обращающейся в нуль при отрицательных значениях, а другая — преобразованием Фурье от функции, обращающейся в нуль при положительных значениях ее аргумента. Мы использовали этот прием в предыдущем параграфе, где решение для частного случая

(чистое предсказание) было найдено в форме (11.24). Если функции передачи записать в виде произведений спектральных плотностей, то выражение (11.24) совпадает точно с полученным ниже решением для случая

Рассмотрим сначала разложение на множители функции Поскольку мы предполагаем рациональной, можно написать

Так как функция является спектральной плотностью, то она обладает некоторыми свойствами, налагающими различные ограничения на количество и расположение ее полюсов и нулей:

действительна при действительных Поэтому откуда следует, что действительно, а все и с отличными от нуля мнимыми частями должны встречаться только в виде комплексно сопряженных пар. Следовательно, всякий действительный корень числителя должен иметь четную кратность (в противном случае числитель меняет знак на обратный).

интегрируема на действительной оси. Следовательно, знаменатель не может иметь действительных корней и степень числителя должна быть меньше степени знаменателя,

Таким образом, мы можем разделить правую часть (11.36) на два множителя, один из которых содержит все полюсы и нули с положительными мнимыми частями, а другой — все полюсы и нули с отрицательными мнимыми частями. Так как всякий действительный корень числителя встречается четное число раз, то половину соответствующих множителей можно включить в сомножитель, содержащий полюсы и нули с положительными мнимыми частями, а другую половину — в другой сомножитель. Таким образом, можно записать в виде

где имеют положительные мнимые части, имеют неотрицательные мнимые части, . Пусть задается равенством

Тогда , где является рациональной функцией от все полюсы и нули которой лежат в левой полуплоскости плоскости , за исключением, может быть, нулей на мнимой оси.

Положим

и

Тогда, так как все полюсы как функции от лежат в верхней полуплоскости плоскости , то при при . Так как представляет собой обратное преобразование Фурье от , то задается как свертка

где верхний предел интегрирования может быть принят равным нулю, поскольку обращается в нуль при Интуитивно можно считать, что — функция передачи физически осуществимой линейной системы, которая могла бы преобразовать белый шум в вероятностный процесс с корреляционной функцией Введем теперь функцию определяемую равенством

[в случае чистого прогнозирования равно Тогда если

то

где верхний предел, как и в (11.38), может быть принят равным нулю. Подставляя функцию определяемую равенством (11.38), и функцию определяемую равенством (11.41), в уравнение (11.9), получаем о

или

Это уравнение удовлетворяется, если выражение в скобках обращается в нуль при всех т. е. если удовлетворяется интегральное уравнение

Уравнение (11.43) можно решить непосредственно, применив преобразование Фурье, тогда как для исходного уравнения (11.9) это было невозможно. Различие это обусловлено тем, что поскольку обращается в нуль при преобразование Фурье от правой части (11.43) распадается в произведение двух преобразований, в то время как для правой части уравнения это не имеет места. Мы имеем

или

Равенство (11.44) определяет — функцию передачи оптимального фильтра. Используя равенства (11.39) и (11.40), мы можем переписать (11.44), выразив через и сомножители функции

Выражение (11.45) есть общая формула для функции передачи оптимального с точки зрения наименьшей среднеквадратичной ошибки линейного прогнозирующего и сглаживающего фильтра.

Если рациональные функции, то правая часть равенства (11.45) может быть вычислена непосредственно, хотя вычисления и могут оказаться утомительными. Как и в случае чистого прогнозирования, может не обращаться в нуль при . Замечания, сделанные относительно такой возможности в параграфе, посвященном чистому прогнозированию, применимы и здесь.

Естественными частными случаями задачи о фильтрации и прогнозировании являются прогнозирование в отсутствие шумов, рассмотренное выше, и сглаживание без прогнозирования, которое мы теперь кратко рассмотрим.

Сглаживание.

При равенство (11.45) определяет функцию передачи оптимального физически осуществимого сглаживающего фильтра. Правую часть выражения (11.45) можно переписать в ином виде, который несколько упрощает вычисления и выявляет связь между этим выражением и выражением (11.11), относящимся к сглаживающему фильтру с бесконечной задержкой.

Заметим прежде всего, что если — рациональная функция (интегрируемая в квадрате), все полюсы которой лежат в верхней полуплоскости плоскости то интеграл

при отрицательных значениях обращается в нуль; следовательно,

Аналогично, если рациональна и все полюсы ее лежат в нижней полуплоскости плоскости то

Итак, если некоторая рациональная функция не имеющая полюсов на действительной оси, разлагается в сумму двух рациональных функций из которых первая имеет все полюсы в верхней, а вторая — в нижней полуплоскости плоскости то

Этот двойной интегральный оператор, фигурирующий также в равенстве (11.45), можно в нашем контексте мыслить как

«физически осуществимую часть» оператора. В настоящем параграфе мы используем обозначение

Если сигнал и шум не коррелированы, то Можно без труда показать (см. задачу 3), что если то функция не имеет полюсов на действительной оси Следовательно, используя введенное нами обозначение, мы можем переписать (11.45) для случая сглаживания при некоррелированных сигнале и шуме в виде

Чтобы найти исходя из равенства (11.49), необходимо выполнить разложение на простейшие дроби выражения интегрировать же при этом не требуется.

Выражение (11.49) представлено теперь в форме, позволяющей сравнить его с решением для сглаживающего фильтра с бесконечной задержкой. Согласно (11.11), в случае некоррелированных сигнала и шума имеем

где — функция передачи для оптимального фильтра с бесконечной задержкой. Равенство (11.50) описывает фильтр, который можно мыслить составленным из двух последовательно соединенных фильтров. Выражение (11.49) описывает фильтр, отличающийся от (11.50) только тем, что в него входит лишь осуществимая часть второго фильтра.

Пример 11.4 1. Предположим, что сигнал и шум независимы и что

Требуется найти функцию передачи оптимального линейного сглаживающего фильтра. Имеем

где Функция может быть разложена в

произведение , где

Тогда

так что

или, если использовать (11.49),

Переходя в (11.51) к пределу при , получим функцию передачи, оптимальную для сглаживания рассматриваемого сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью . Она равна

Ошибка сглаживания и прогнозирования.

Среднеквадратичная ошибка, возникающая при использовании сглаживающего и прогнозирующего фильтра с импульсным откликом задается равенством (11.4). Если фильтр оптимален, то с учетом (11.9) находим, что среднеквадратичная ошибка равна

Согласно теореме Парсеваля, этот двойной интеграл может быть выражен через

Тогда

что, по-видимому, является наиболее удобной формой для вычислений в общем случае. Величину в (11.55) можно заменить ее выражением (11.46); тогда после некоторых упрощений (см задачу 6) получим

В случае чистого прогнозирования и равенство (11.56) принимает вид

где также использовалась теорема Парсеваля. Поскольку при функция обращается в нуль, последнее равенство может быть переписано в виде

Этот последний результат можно было бы получить непосредственно из равенства (11.17).