13.2. Устройства v-й степени

Важный класс нелинейных устройств составляют устройства, образуемые на основе устройств с однополупериодной характеристикой степени:

где а — масштабный множитель, неотрицательное действительное число. Частными примерами таких устройств являются однополупериодное устройство степени с характеристикой двухполупериодное (четное) устройство степени

с характеристикой

и двухполупериодное (нечетное) устройство степени с характеристикой

Графики различных характеристик этих устройств приведены на фиг. 13.1. Одно- и двухполупериодные (четные) устройства степени часто используются в качестве детекторов; двухполупериодные (нечетные) устройства -степени встречаются в некоторых нелинейных усилителях.

Преобразование Лапласа от однополупериодной характеристики степени равно

Интеграл в правой часто сходится только при Следовательно, соответствующий контур для обратного преобразования должен лежать вправо от оси Полагая имеем

откуда

где — гамма-функция, определяемая интегралом

при . Таким образом, переходная функция однополупериодного устройства степени равна

(кликните для просмотра скана)

Поскольку

переходные функции двухполупериодного (четного) устройства степени имеют вид

а двухполупериодного (нечетного) —

Интеграл для сходится только при соответствующий контур для обратного преобразования должен, следовательно, лежать влево от оси

Фиг. 13.2. Контуры преобразования обращения для устройства v-й степени.

Мы будем в дальнейшем выбирать в качестве контура линию а в качестве контура линию где , как показано на фиг. 13.2.

Узкополосное воздействие.

Предположим, что на вход однополупериодного устройства v-й степени подается узкополосное воздействие вида

где . Отклик устройства можно найти, подставляя в (13.5) значение определяемое равенством (13.19), и значение определяемое равенством (13.16). Итак,

Экспонента в подинтегральном выражении может быть разложена по формуле Якоби — Энгера

где — множитель Неймана, — модифицированная функция Бесселя первого рода. Следовательно, полагая , имеем

Введем обозначение для коэффициентов:

тогда отклик однополупериодного устройства степени на узкополосное воздействие может быть представлен в виде

Итак, мы разложили отклик устройства на сумму гармонических компонент. Каждая компонента представляет собой колебание с огибающей, модулированной при помощи степени огибающей входного воздействия, причем компонента модулирована по фазе по тому же закону, что и воздействие на входе, но в раз глубже.

Предположим теперь, что узкополосное воздействие приложено ко входу двухполупериодного (четного) устройства степени. Отклик устройства находится подстановкой в (13.9) выражения

(13.19) для и, выражений (13.17) для При этом мы получаем

Разлагая экспоненты формуле (13.20) и используя равенство

получаем

Итак, отклик двухполупериодного (четного) устройства степени на узкополосное воздействие может быть представлен в виде

где определяются равенством (13.21). Аналогично можно показать, что отклик двухполупериодного (нечетного) устройства степени на узкополосное воздействие представим в виде

Таким образом, если отклик однополупериодного устройства степени в общем случае содержит все гармоники входного воздействия, то отклик двухполупериодного (четного) устройства содержит только четные гармоники (включая нулевую частоту), а отклик двухполупериодного (нечетного) устройства — только нечетные гармоники воздействия.

Вычисление коэффициентов C(v,m).

Для того чтобы вычислить коэффициенты рассмотрим сначала интеграл от взятый по контуру, изображенному на фиг. 13.3.

Положим и введем обозначения

Тогда при интеграл стремится к интегралу, стоящему справа в (13.21).

Фиг. 13.3. Контур интегрирования.

Так как

то функция Бесселя при малых значениях изменяется как . Если мы, далее, предположим, что то особая

точка функции в начале координат исчезнет и функция эта станет аналитической как внутри контура, изображенного на фиг. 13.3, так и на этом контуре. Тогда, согласно теореме Коши,

Рассмотрим теперь интегралы Используем асимптотическое разложение для при больших

Тогда для больших значений имеем приближенно

Следовательно, при больших значениях

и если

Таким образом, , и аналогично при следовательно,

На мнимой оси . Поэтому

поскольку

Далее, полагая получаем

Таким образом,

Интеграл в этом выражении представляет собой несобственный интеграл Вебера, и при (эти предположения уже были приняты выше) он равен

Поскольку

из равенств (13.22), (13.33), (13.34) и (13.35) следует что для четных при

При фиксированном отношение является всюду однозначной аналитической функцией от поэтому теория аналитического продолжения позволяет нам снять ограничение Остающееся ограничение удовлетворяется автоматически в силу исходного предположения о неотрицательности v.

Так как при согласно (13.36), коэффициенты обращаются в нуль всякий раз, когда — положительное целое число. Это, например, имеет место, когда четно при целом четном или когда нечетно при нечетном . Таким образом, согласно (13.24), если — четное целое число, то гармонические составляющие на выходе двухполупериодного (четного) устройства степени, для которых обращаются в нуль; аналогично, согласно (13.25), при нечетном целом гармонические составляющие, для которых обращаются в нуль на выходе двухполупериодного (нечетного) устройства степени.

Детекторы и нелинейные усилители v-й степени.

Одно- или двухполупериодное (четное) устройство степени и следующий за ним идеальный фильтр низких частот образуют детектор степени. Согласно равенству (13.22), отклик однополупериодного детектора степени равен

а двухполупериодного детектора степени, согласно (13.24),

где, согласно (13.36),

В частности, отклик однополупериодного линейного детектора равен

а двухполупериодного квадратичного —

Таким образом, однополупериодный линейный детектор является детектором, выделяющим огибающую.

Двухполупериодное (нечетное) устройство степени и следующий за ним полосовой фильтр со средней частотой пропускания (т. е. фильтр, функция передачи которого равна единице в некотором интервале частот около частоты и нулю при других частотах) образуют нелинейный усилитель степени. Отклик такого усилителя, согласно (13.25), равен

где, согласно (13.36),

При отклик двухполупериодного (нечетного) устройства степени может принимать только значения (см. фиг. 13.1, в). Такое устройство называется идеальным ограничителем, а совокупность, состоящая из идеального ограничителя и полосового фильтра, средняя частота которого совпадает с несущей частотой входного воздействия, — идеальным полосовым ограничителем.

Если на идеальный полосовой ограничитель подается узкополосное воздействие, имеющее вид (13.19), то отклик ограничителя, согласно (13.39), равен

Таким образом, подавая на вход идеального полосового ограничителя узкополосное воздействие, мы получаем на выходе ограничителя синусоидальный сигнал, модулированный только по фазе, причем закон модуляции идентичен закону, по которому было модулировано по фазе воздействие на входе.