7.5. Плотность распределения вероятностей для дробового шума диода в режиме насыщения

Полный ток, протекающий через диод, работающий в режиме насыщения, является суммой статистически независимых импульсов гока, вызванных пролетом отдельных электронов, поэтому можно ожидать, исходя из проведенного выше рассмотрения центральной предельной теоремы, что распределение вероятностей полного тока будет при неограниченном увеличении числа пролетающих в лампе электронов стремиться к гауссовскому. Действительно, так как на один ампер среднего тока через лампу пролетает приблизительно электронов в секунду, то мы вправе предположить. что полный ток диода является гауссовским вероятностным процессом Однако вместо того, чтобы применять непосредственно центральную предельную теорему, мы выведем общее выражение для функции распределения полного тока и затем рассмотрим ее предельное поведение при неограниченном увеличении среднего числа пролетающих через лампу электронов.

Общий вид.

Как и прежде, удобно представить полный протекающий в интервале времени как функцию случайных величин и К. Плотность распределения

вероятностей полного тока можно найти, исходя из условных плотностей распределений вероятностей вычисляемых в предположении, что в заданном интервале времени через лампу пролетело К электронов. Для этого нужно воспользоваться соотношением

вытекающим из (3.20), (3.29 а) и (3.33 б). Условная плотность распределения вероятностей может быть легко получена из соответствующей ей характеристической функции имеющей вид

Моменты вылета электронов являются независимыми случайными величинами, и, следовательно,

В силу равномерности распределения моментов вылета,

Таким образом, все К сомножителей в произведении имеют одинаковый вид, и мы можем написать, что

Соответствующая условная плотность распределения вероятностей равна

Подставляя этот результат в (7.44) и используя то, что К имеет распределение Пуассона, получаем, что

Сумма по К в этом выражении представляет собой разложение в степенной ряд экспоненциальной функции, и, следовательно,

Если мы теперь представим как интеграл по от единицы, распространенный на интервал , то получим

Для значений t, превышающих время пролета импульс тока равен нулю. Следовательно, для и для всех t, отстоящих от концов заданного интервала больше чем на

Таким образом, интервал интегрирования в (7.45) можно расширить в обе стороны до бесконечности и заменить на . Тогда

что и дает нам общее выражение для плотности распределения вероятностей полного тока диода в режиме насыщения. Заметим, что полученный результат не зависит от это согласуется с прежним нашим утверждением о том, что исследуемый процесс является статистически стационарным вероятностным процессом.

Предельный вид.

Выражение (7.47) не дает наглядного представления о зависимости от поэтому выясним предельное поведение этого выражения при неограниченном увеличении среднего числа электронов, пролетающих через лампу в одну секунду. Согласно равенству (7.33), среднее значение полного тока диода при неограниченно возрастает; из равенств (7.33) и (7.36) вытекает, что должна неограниченно возрастать также дисперсия полного тока, ибо

Чтобы избежать этих трудностей, вместо предельного поведения самого тока диода рассмотрим предельное поведение соответствующей нормированной случайной величины

Нормированный ток диода имеет, каково бы ни было значение равное нулю среднее значение и равное единице значение среднеквадратичного уклонения. Характеристическая функция нормированного тока диода равна

где — характеристическая функция полного тока, равная, согласно (7.47),

Следовательно,

Разлагая подинтегральное выражение в степенной ряд и интегрируя результат почленно, получаем

Подставляя этот результат в равенство (7.52) и используя полученные ранее выражения для и как функций от находим, что

Поскольку а имеет порядок слагаемое суммы в квадратных скобках, содержащее имеет порядок при Таким образом, при все слагаемые, кроме первого, стремятся

к нулю, и, следовательно,

Итак, при неограниченном увеличении среднего числа электронов, пролетающих через диод в секунду, характеристическая функция, а значит, и плотность распределения вероятностей нормированного тока становятся гауссовскими.

Совместные распределения вероятностей.

Плотности различных совместных распределений вероятностей, характеризующих статистические свойства тока, протекающего в диоде, работающем в режиме насыщения, можно найти путем анализа, аналогичного приведенному выше при вычислении Например, для нахождения плотности совместного распределения вероятностей случайных величин мы можем выразить тока в виде сумм отдельных импульсов тока. Тогда, предполагая, что в интервале времени вылетает К электронов, мы можем написать

и

где, как и прежде, — . Используя распределения вероятностей для моментов вылета, мы можем сначала найти выражение для условной совместной характеристической функции,

и затем найти соответствующую, условную плотность совместного распределения вероятностей Плотность совместного распределения вероятностей можно найти, далее, осреднением относительно К. Если рассмотреть предельное поведение полученного результата при , то видно, что стремится к двумерной гауссовской плотности распределения. Аналогичным методом можно также показать, что все -мерные плотности совместных распределений вероятностей при становятся гауссовскими и, следовательно, ток диода будет представлять собой гауссовский процесс.