8.2. Двумерное распределение

Пусть — независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями соответственно . Согласно равенствам (3.40) и (8.9), плотность совместного распределения вероятностей этих случайных величин

Рассмотрим теперь две случайные величины и получающиеся из с помощью поворота:

Средние значения величин равны нулю, а дисперсии

Ковариация

вообще говоря, не равна нулю.

Плотности совместного распределения вероятностей величин можно теперь получить, исходя из плотности совместного распределения величин . Решая уравнения (8.13) относительно получаем

т. е. преобразование, обратное к повороту, является также поворотом. Якобиан этого преобразования

и, следовательно, в соответствии с равенствами (3.54) и (8.12)

Этот результат может быть выражен через моменты второго порядка величин

О случайных величинах говорят, что они имеют двумерную гауссовскую плотность распределения вероятностей. Таким образом, пару случайных величин имеющих двумерную гауссовскую плотность распределения вероятностей (8.16), с помощью поворота системы координат можно преобразовать в пару независимых гауссовских случайных величин.

Совместную характеристическую функцию величин и также можно получить, исходя из характеристической функции, величин

Общие формулы.

Случайные величины

являются нормированными, так как

В соответствии с равенством (8.18) их плотность совместного распределения вероятностей равна

где — коэффициент корреляции величин Равенство (8.20) дает общий вид плотности совместных распределений вероятностей двух гауссовских нормированных случайных величин. Как следует из равенства (8.19), соответствующая характеристическая функция равна

В общем случае гауссовская плотность совместного распределения вероятностей двух действительных случайных величин и у, имеющих средние значения дисперсии и коэффициент корреляции равна

Соответствующая совместная характеристическая функция

Зависимость и независимость.

Пусть — нормированные гауссовские случайные величины. Условную плотность распределения вероятностей величины при заданном можно получить, разделив выражение (8.20) на в результате найдем, что

Таким образом, условная плотность распределения вероятностей величины при заданном является гауссовской величиной со средним значением и дисперсией

Предположим, что некоррелированы, т. е. что Тогда из (8.20) следует, что

Итак, мы видим, что если две нормированные гауссовские случайные величины некоррелированы, то они также и независимы. Отсюда следует, что если две любые гауссовские случайные величины некоррелированы, то они независимы.

Линейные преобразования.

Имея дело с многомерными случайными величинами, часто оказывается удобным пользоваться матричными обозначениями. Пусть, например, у — матрица-столбец, образованная двумя случайными величинами

a v — матрица-столбец с элементами

транспонируя эту матрицу, получаем матрицу-строку

Тогда, так как

то мы можем выразить характеристическую функцию величин и y в виде

В частности, если — гауссовские случайные величины, то в соответствии с равенством (8.23) мы можем написать, что

где — матрица-столбец, составленный из средних значений,

матрица ковариаций,

Предположим теперь, что случайные величины имеют нулевые средние значения и что при помощи линейного преобразования они преобразуются в случайные величины :

В матричной форме это преобразование можно записать так:

где А — матрица преобразования, т. е.

а — матрица-столбец с элементами .

Так как имеют нулевые средние значения, то как для , так и для имеем

Дисперсии величин и их ковариации равны

Непосредственное вычисление показывает, что в этом случае матрицу ковариации величин можно выразить через А равенством

Из равенства (8.28) вытекает, что характеристическая функция величин может быть записана в виде

что в соответствии с (8.33) можно переписать так:

где мы положили

Если - гауссовские случайные величины с нулевыми средними значениями, то, согласно (8.29), их характеристическая функция равна

Из определения и равенства (8.36) следует, что

Из последнего результата и из равенства (8.37) вытекает, что характеристическая функция величин равна

Это выражение представляет собой характеристическую функцию пары гауссовских случайных величин с матрицей ковариации Итак, мы показали, что линейным преобразованием пары гауссовских случайных величин является снова пара гауссовских случайных величин. Равенство (8.16) является частным случаем этого общего результата.