5.5. Относительная частота
Важным частным случаем выбора является тот случай, когда измеряемая случайная величина или вероятностный процесс могут принимать значения только нуль и единица с вероятностями соответственно 
. Рассмотрим, например, определение относительной частоты появления некоторого заданного события 
. Мы здесь определим случайную величину 
как величину, равную единице, если при 
выборке событие (А) произошло, и нулю, если оно не произошло. Из определения выборочного среднего [равенство (5.2)] следует, что
где 
— случайная величина, задающая число возникновений события (А) в N выборках. При этом выборочное среднее является случайной величиной, соответствующей относительной частоте появления события (А) в N выборках.
Пусть 
— вероятность появления события (А); тогда
и, следовательно, согласно (5.3),
Итак, математическое ожидание относительной частоты появления некоторого события равно вероятности появления этого события.
Некоррелированные выборки.
Так как
то из равенства (5.8) следует, что если отдельные выборки некоррелированы, то дисперсия относительной частоты равна
Оценку этой дисперсии сверху можно найти, продифференцировав дисперсию по 
, приравняв производную нулю и решив получающееся соотношение относительно 
. Проделав это, нетрудно увидеть, что дисперсия принимает максимальное значение при 
и это значение
Если мы теперь подставим полученные результаты в неравенство Чебышева (5.11), то получим
При 
дисперсия относительной частоты стремится к нулю; поэтому из результатов § 4.6 следует, что относительная частота появления события при неограниченном увеличении числа некоррелированных выборок сходится по вероятности к вероятности появления этого события. Этот результат, известный как теорема Бернулли, по существу оправдывает развитый в гл. 2 частотный подход к теории вероятностей.
Независимые выборки.
Нахождение распределения вероятностей. относительной частоты становится особенно простым, если отдельные выборки независимы. При этом ситуация оказывается в точности такой же, как и при подбрасывании монеты, рассмотренном в примере 2.6.2, и последовательные операции выбора образуют испытания Бернулли. Рассуждая так же, как и при выводе равенства (2.21), можно показать, что распределение вероятностей для относительной частоты является биномиальным. Итак, при независимых выборках
