6.6. Спектральный анализ стационарных в широком смысле вероятностных процессов

Как и в случае одной функции, мы определим спектральную плотность мощности стационарного в широком смысле вероятностного процесса как преобразование Фурье от его корреляционной функции; таким образом,

Тогда

Корреляционная функция задается, конечно, равенством

но если процесс является эргодическим, то она с вероятностью единица задается также равенством

Примеры. Прежде чем перейти к изложению некоторых свойств спектральной плотности, рассмотрим два простых примера.

Пример 6.6.1. Случайный телеграфный сигнал. Случайный телеграфный, сигнал, описанный в примере 4.5.1, имеет корреляционную функцию

Следовательно,

Импульсная функция, обусловливающая наличие в спектральной плотности - пика на нулевой частоте, отражает наличие в случайном телеграфном сигнале постоянной составляющей. Если сигнал симметричен относительно уровня нулевого напряжения, то этот пик исчезает.

Пример 6.6.2. Белый шум. При рассмотрении задач, связанных с полосовыми фильтрами, часто оказывается удобным сделать упрощающее предположение о том, что спектральная плотность сигнала постоянна в конечном интервале частот и равна нулю вне этого интервала, т. е. что при

Тогда

где

В гипотетическом предельном случае, когда постоянно для всех частот, становится равным Вероятностный процесс с постоянной спектральной плотностью обычно называют белым шумом.

Наиболее обычными примерами применения спектральной плотности, по крайней мере в приложениях к исследованию шумов в электрических цепях, являются примеры, в которых рассматривается спектральная плотность на выходе линейной системы с сосредоточенными параметрами при возбуждении ее белым шумом. В этом случае спектральная плотность оказывается рациональной функцией.

Свойства спектральной плотности и корреляционной функции.

Класс непрерывных корреляционных функций стационарных процессов обладает следующим интересным свойством. Пусть задан стационарный в широком смысле вероятностный процесс с выборочными функциями Пусть, далее, — целое положительное число, — любая совокупность N значений параметра t и — любая совокупность N комплексных чисел. Тогда

Поскольку это выражение представляет собой среднее значение неотрицательной случайной величины, оно само неотрицательно, т. е.

В § 4.5 мы уже установили, что

Итак, корреляционная функция любого стационарного в широком смысле процесса удовлетворяет условиям (6.68) и (6.69); можно показать, что и обратно, любая непрерывная функция, удовлетворяющая этим двум условиям, является корреляционной функцией некоторого стационарного в широком смысле процесса. Функции,

удовлетворяющие условиям (6.68) и (6.69), называются неотрицательно определенными.

Используя критерий неотрицательной определенности, нетрудно показать, что если — любая интегрируемая неотрицательная функция, то ее преобразование Фурье является корреляционной функцией. Таким образом, на класс функций, которые могут быть спектральными плотностями мощности, не налагается никаких ограничений, кроме очевидных требований неотрицательности и интегрируемости (т. е. конечности мощности). Следует, однако, отметить, что спектральная плотность действительного вероятностного процесса должна быть четной функцией частоты, что вытекает из равенства (6.63) и из того, что для действительного процесса

Небезынтересно показать, что преобразование Фурье любой корреляционной функции должно быть неотрицательным.

В самом деле, если бы это было не так, то определение спектральной плотности мощности, выражаемое равенством (6.63), было бы физически бессмысленным. Вычисления, с помощью которых мы докажем эту неотрицательность, окажутся в дальнейшей части этого параграфа полезными для другой цели. Как и в равенстве (6.67), для произвольного имеем

Положим тогда двойной интеграл (6.70) примет вид

Выполняя интегрирование по t и деля все выражение на Т, получаем

где

Но при и любом (если функция абсолютно интегрируема), а интеграл (6.71) стремится к

Так как аппроксимирующие интегралы неотрицательны, то неотрицательным является и предел, т. е.

Если функция абсолютно интегрируема, так что ее преобразование Фурье существует в строгом смысле, то, согласно так называемой лемме Римана — Лебега,

В этом случае не может быть периодической функцией, так как периодическая функция, отличная от нуля, не может быть абсолютно интегрируемой. Если можно записать в виде суммы периодической и интегрируемой частей, то будет состоять из суммы импульсных функций, отстоящих друг от друга на равные интервалы, и слагаемого, которое стремится к нулю, когда частота стремится к бесконечности.

Оценка спектральной плотности и спектра.

В экспериментальных работах часто возникают задачи приближенного определения спектральной плотности или корреляционной функции вероятностного (предположительно стационарного) процесса, когда известны только некоторые выборочные значения этого процесса или некоторые куски его выборочных функций. Это по существу задача статистической оценки. В каждом случае по экспериментальным данным требуется найти некоторую их функцию , т. е. случайную величину, — сходящуюся в том или ином смысле к истинным значениям или которые требуется найти. Не имея возможности адекватно рассмотреть здесь этот трудный вопрос, мы, однако, получим один важный отрицательный результат.

Часто используемый и, казалось бы, интуитивно «естественный» способ оценки спектральной плотности состоит в использовании функции, называемой периодограммой (эта функция будет определена

делена ниже). Тем не менее было установлено, что несмотря на привлекательность этого способа, периодограмма дает весьма сомнительную оценку спектральной плотности, что мы сейчас и покажем.

Если мы положим

то для любой заданной выборочной функции функция

называемая периодограммой, даст разложение по частоте мощности функции в интервале Можно было бы предполагать, что если положить то случайные величины будут приближаться к спектральной плотности Однако в общем случае применение такой процедуры неоправданно, так как в широком классе примеров, в частности для действительных гауссовских вероятностных процессов, ее применение приводит к неудаче. Всегда верно, что

однако дисперсия может не стремиться к нулю.

Согласно (6.70) и (6.71), имеем

откуда вытекает (6.75). Далее, если процесс действительный, то

Можно показать, что если процесс является к тому же гауссовским, то

При этом равенство (6.77) принимает вид

Следовательно,

и

Итак, при для любого значения при котором дисперсия к нулю не стремится. Это означает, что для всех при которых случайная величина при не сходится (в среднем) к