4.6. Сходимость

Отвлечемся теперь от рассмотрения средних и выведем несколько результатов, которые нам понадобятся в дальнейшем.

В этом параграфе мы выведем одно важное неравенство и затем рассмотрим вопрос о сходимости последовательности случайных величин. В следующем параграфе мы изучим интегралы от вероятностных процессов. Наконец, в § 4.8 мы вернемся к вопросу о средних и рассмотрим временные средние и их связь с математическими ожиданиями.

Неравенство Чебышева.

Пусть у — произвольная случайная величина с плотностью распределения , причем

Поскольку неотрицательны,

где произвольное положительное число. Далее, поскольку в каждой точке области интегрирования

Последний интеграл равен вероятности того, что . Решая неравенство относительно этой вероятности, получаем

В частности, если в качестве у взять разность между случайной величиной х и ее средним значением мы получим неравенство Чебышева

Сходимость в среднем и по вероятности.

В дальнейшем в ряде случаев нам будет важно знать, сходится ли последовательность случайных величин к случайной величине х, и если да, то в каком смысле. Мы определим здесь различные виды сходимости и рассмотрим некоторые их взаимосвязи.

Пусть при всех . Последовательность случайных величин называется сходящейся в среднем к случайной величине х, если

В этом случае мы будем писать

где означает предел в среднем.

Если последовательность случайных величин такова, что для произвольного

то мы скажем, что последовательность случайных величин

сходится по вероятности к случайной величине х, и запишем

Полагая в мы видим, что, в силу (4.61), (4.63) и (4.65), последовательность случайных величин сходящаяся к случайной величине х в среднем, сходится к х и по вероятности.

Сходимость по распределению.

Теперь можно показать, что если последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине х, то функции распределения случайных величин сходятся к функции распределения случайной величины х во всех точках непрерывности этой последней функции. В этом случае говорят, что последовательность случайных величин сходится по распределению к случайной величине х.

Рассмотрим сначала функцию распределения . Событие может произойти при или при . Поскольку последние два события несовместимы,

Аналогично

Вычитая второе равенство из первого, имеем

Если , то Это единственная возможность, при которой может произойти событие следовательно,

Таким образом, если положить то

Аналогичным способом можно показать, что

и, следовательно,

Так как сходится по вероятности к х, то при Следовательно, для каждого

откуда в свою очередь вытекает, что во всех точках непрерывности функции

что и требовалось доказать.