13.6. Детекторы v-й степени

Результаты, изложенные в предыдущих параграфах, являются общими в том отношении, что там не задавались точно характеристики рассматриваемых нелинейных устройств. Обратимся теперь к частному случаю детектора степени. Мы будем предполагать, что детектор состоит из одно- или двухполупериодного (четного) нелинейного устройства степени и следующего за ним идеального фильтра низких частот. Характеристики и переходные функции устройств степени были рассмотрены в § 13.2.

Пусть воздействие на детектор степени является суммой амплитудно-модулированного синусоидального сигнала и гауссовского шума. Если нелинейное устройство — однополупериодное степени, то корреляционная функция отклика устройства задается выражением (13.50), где коэффициент равен

что вытекает из (13.48), если подставить туда значение определяемое равенством (13.16). С другой стороны, если нелинейное устройство — двухполупериодное (четное) степени, то, согласно (13.17) и (13.18),

где определяется равенством (13.92). Если шум на входе узкополосен, то, согласно результатам предыдущего параграфа, с откликом детектора связаны лишь слагаемые, содержащие те

из коэффициентов Для которых четно. Различие в корреляционных функциях на выходах одно- и двухполупериодного детекторов степени сводится, таким образом, только к множителю

Вычисление ...

Вычислим теперь для устройства степени коэффициенты задаваемые равенством (13.92). При этом мы используем в основном тот же метод, который мы применяли в § 13.2 для вычисления

Рассмотрим интеграл от

по прямоугольному контуру, изображенному на фиг. 13.7.

Фиг. 13.7. Контур интегрирования.

Пусть — интеграл вдоль линии в пределах от — интеграл вдоль линии в пределах от до — интеграл вдоль линии в пределах от до — интеграл вдоль линии в пределах от до Так как, согласно (13.27), функция Бесселя при малых изменяется как а экспонента при малых изменяется как то при подинтегральная функция не имеет особенностей в начале координат. При этом, следовательно, подинтегральная функция внутри контура фиг. 13.7 и на нем самом является аналитической функцией, и, согласно теореме Коши,

Рассмотрим интегралы Согласно равенству (13.30), интеграл при больших значениях приближенно равен

При функция убывает быстрее, чем возрастает функция следовательно, для любых

Следовательно, при имеем и аналогично Таким образом, при согласно (13.94),

Интеграл в этом выражении, называемый экспоненциальным интегралом Ганкеля, равен (при )

где — конфлуэнтная гипергеометрическая функция, определяемая рядом

Используя равенство (13.35), мы получаем, что при

Можно, однако, показать, что при фиксированных и функция определяемая равенством (13.92), является однозначной аналитической функцией от в любой ограниченной области. Правая часть равенства (13.97), будучи разделена на также дает однозначную аналитическую функцию от в любой ограниченной области; поэтому, используя теорию аналитического продолжения, мы можем распространить соотношение (13.97) для на все значения и таким образом обойти ограничение

Следует отметить, что, поскольку при коэффициент обращается в нуль всякий раз, когда — есть четное целое положительное число.

Сигнал и шум на выходе.

Впредь в настоящем параграфе мы будем предполагать, что воздействие на детектор степени является суммой амплитудно-модулированного синусоидального сигнала и стационарного узкополосного гауссовского шума, спектр которого сосредоточен в полосе частот около несущей частоты сигнала.

Предположим временно, что входной синусоидальный сигнал не модулирован; тогда среднее значение сигнала на выходе детектора, согласно (13.56), равно

где для однополупериодного детектора степени, согласно (13.97),

Если теперь медленно менять амплитуду синусоидального сигнала, то среднее значение сигнала на выходе также будет медленно меняться. Определим выходной сигнал как изменение среднего значения сигнала на выходе по отношению к его среднему значению в отсутствие модулирующего сигнала на входе, т. е.

Применительно к однополупериодному детектору степени это равенство принимает вид

Мощность выходного сигнала определяется как среднее значение квадрата самого сигнала:

причем эта величина постоянна, если модуляция стационарна. Таким образом, мощность сигнала на выходе однополупериодного детектора степени равна

Далее, -составляющая корреляционной функции на выходе детектора, согласно (13.88), равна

где, согласно (13.97), для однополупериодного детектора степени

Соответствующая мощность шума на выходе находится из равенства (13.104), если положить

ибо . Благодаря множителю слагаемые в (13.104) и (13.106), соответствующие при четном обращаются в нуль.

Наконец, -составляющая корреляционной функции отклика детектора, согласно (13.89), равна

где значения для однополупериодного детектора степени задаются равенством (13.97). Соответствующая мощность шума на выходе равна

Множитель приводит к тому, при целом четном слагаемые в (13.107) и (13.108), для которых обращаются в нуль.

Полная мощность шума на выходе детектора равна сумме мощностей (13.106) и (13.108). Небезынтересно отметить, что, как следует из этих выражений, полная мощность шума на выходе детектора не зависит от формы спектра шума на входе. Этот факт является, конечно, следствием принятых допущений об узкополосном характере шума и выходном фильтре.

Малое отношение сигнал/шум на входе.

Полученные выражения для мощностей сигнала и шума на выходе являются весьма сложными функциями мощностей сигнала и шума на входе. Существенно более простые результаты могут быть получены для очень малых и очень больших отношений сигнал/шум на входе:

Если отношение сигнал/шум очень мало, то удобно разложить конфлуэнтную гипергеомефическую функцию в ряд вида (13.96) Таким путем мы получаем из равенства (13.103), что

Следовательно, при малом отношении сигнал/шум на входе детектора степени мощность сигнала на выходе его изменяется пропорционально квадрату этого отношения. -составляющая мощности шума на выходе равна, согласно (13.106),

т. е. не зависит от отношения сигнал/шум на входе. Наконец, -составляющая мощности шума на выходе находится подстановкой (13.96) в (13.108):

При малом отношении сигнал/шум на входе доминирующими в последнем выражении являются слагаемые, соответствующие Следовательно, приближенно

Сравнивая формулы (13.111) и (13.112), мы видим, что при малом отношении сигнал/шум на входе шум на выходе обусловлен в первую очередь -составляющей.

Комбинируя приведенные выше выражения, мы находим, что отношение сигнал/шум на выходе равно

где постоянная

является функцией только и распределения вероятностей процесса, модулирующего входной сигнал. То же самое выражение имеет место для двухполупериодного детектора степени; таким образом, отношение сигнал/шум на выходе детектора степени при малых отношениях сигнал/шум на входе и всех значениях пропорционально квадрату отношения сигнал/шум на входе. Это и есть эффект подавления «малого сигнала».

Большое отношение сигнал/шум на входе.

При большом отношении сигнал/шум на входе удобно разложить конфлуэнтную гипергеометрическую функцию в асимптотический ряд:

Подставляя (13.115) в (13.103), получаем

Приближенное равенство для -составляющей мощности шума на выходе находим, подставляя (13.115) в (13.106) и выделяя доминирующее слагаемое:

Аналогично -составляющую мощности шума на выходе находим, подставляя (13.115) в (13.108) и опять выделяя доминирующее слагаемое:

Сравнивая выражения (13.117) и (13.118), мы видим, что при больших отношениях сигнал/шум на входе шум на выходе обусловлен в первую очередь -составляющей.

Комбинируя полученные выше результаты, мы находим выражение для отношения сигнал/шум на выходе:

где постоянная

является функцией только и распределения вероятностей процесса, модулирующего входной сигнал. Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе детектора степени при больших отношениях сигнал/шум на входе его для всех значений прямо пропорционально отношению сигнал/шум на входе. Итак, все детекторы степени ведут себя в основном так же, как и двухполупериодный квадратичный детектор при тех же отношениях сигнал/шум.