4.3. Характеристические функции

Другим довольно важным типом средних значений являются характеристические функции. Характеристическая функция вещественной случайной величины х определяется как математическое ожидание

где — действительное число. Поскольку плотность неотрицательна, а модуль числа равен единице,

Следовательно, характеристическая функция всегда существует и удовлетворяет неравенству

Из определения интеграла Фурье следует, что характеристическая функция случайной величины х является преобразованием Фурье от плотности распределения вероятностей этой случайной величины. Поэтому при соответствующих условиях мы можем применить обратное преобразование Фурье и выразить плотность распределения вероятностей случайной величины через характеристическую функцию:

Нередко оказывается более простым не вычислять непосредственно плотность распределения, а найти сначала характеристическую функцию и лишь затем вычислить плотность распределения, используя преобразование Фурье.

Если дискретная случайная величина, то равенство (4.16) принимает вид

Вычисление моментов.

Продифференцируем теперь характеристическую функцию по параметру х

Если в обеих частях этого равенства положить то интеграл превращается в первый момент случайной величины х. Отсюда находим, что

Итак, первый момент может быть получен дифференцированием характеристической функции.

Аналогично, вычисляя производную от характеристической функции по V, получаем

При интеграл превращается в момент случайной величины х. Следовательно,

Иногда для вычисления момента оказывается проще провести дифференцирование по формуле (4.21), чем интегрирование по формуле (4.10).

Предположим, что характеристическая функция может быть разложена в ряд Тейлора:

Тогда, учитывая равенство (4.21), находим, что

Итак, если характеристическая функция случайной величины разлагается в ряд Тейлора в некотором интервале около начала

координат, то она однозначно определяется в этом интервале моментами соответствующей случайной величины. Если для некоторой случайной величины существуют не все моменты, но ее момент порядка существует, то также существуют моменты всех порядков ниже и характеристическая функция может быть разложена в ряд Тейлора с остаточным членом порядка. Если моменты некоторой случайной величины однозначно задают ее характеристическую функцию, то они однозначно задают также и ее функцию распределения. Простое достаточное условие для такой однозначности состоит в следующем: если распределение вероятностей таково, что существуют все моменты, и если ряд (4.22) абсолютно сходится для некоторого то это распределение вероятностей является единственным распределением с такими моментами.

В литературе по математической статистике часто встречается другой тип средних значений, тесно связанный с характеристической функцией. Эта функция называемая производящей функцией, определяется как математическое ожидание

где — действительные числа. Эта функция связана с моментами по существу так же, как характеристическая функция. Легко показать, в частности, что

Существенное различие между характеристической и производящей функциями состоит в том, что характеристическая функция существует всегда, а производящая — только если существуют все моменты.

Многомерные характеристические функции.

Математическое ожидание

называется двумерной характеристической функцией случайных величин х и у. Таким образом, двумерная характеристическая функция есть двумерное преобразование Фурье от плотности совместного распределения случайных величин х и у, и мы можем, зная двумерную характеристическую функцию, с помощью обратного преобразования Фурье найти плотность совместного распределения вероятностей двух случайных величин:

Аналогично, -мерная характеристическая функция и -мерная плотность совместного распределения вероятностей связаны друг с другом -мерным преобразованием Фурье.

Определив двумерную характеристическую функцию, рассмотрим теперь некоторые ее свойства. Во-первых, заметим, что

Из равенства (4.25) вытекает далее, что

Следовательно, двумерная характеристическая функция всегда существует и достигает своего наибольшего значения в начале координат плоскости

Положим теперь равным нулю только . Тогда

Из свойств плотности совместного распределения вероятностей следует, что интеграл по у в предыдущем равенстве есть просто плотность распределения Таким образом, мы получаем следующее соотношение между двумерной характеристической функцией величин х и у и одномерной характеристической функцией величины х:

Аналогично можно показать, что

Продифференцируем теперь двумерную характеристическую функцию раз по раз по

Полагая равными нулю, мы видим, что двойной интеграл обращается в смешанный момент Следовательно,

Таким образом, различные смешанные моменты случайных величин х и у могут быть найдены последовательным дифференцированием их двумерной характеристической функции.

Разлагая в степенной ряд экспоненциальную функцию, входящую в интегральное выражение для можно получить разложение двумерной характеристической функции в ряд по смешанным моментам:

или, меняя порядок интегрирования и суммирования,

Двойные интегралы в последнем выражении представляют собой просто смешанные моменты и, следовательно,

Независимые случайные величины.

По определению, -мерная характеристическая функция случайных величин есть

Если случайных величин независимы, то математическое ожидание произведения равно произведению соответствующих математических ожиданий. Поскольку математическое ожидание равняется характеристической функции величин мы получаем

Итак, -мерная характеристическая функция совокупности N независимых случайных величин равна произведению их индивидуальных характеристических функций. Легко показать, что и наоборот, случайных величин обязательно будут независимыми

если их -мерная характеристическая функция равна произведению соответствующих одномерных характеристических функций.

Пример 4.3.1, Рассмотрим случайную величину у, являющуюся суммой N независимых случайных величин

Характеристическая функция у равна тогда

В силу независимости случайных величин

и мы видим, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Не следует, однако, смешивать равенства (4.32) и (4.33), похожие одно на другое по форме. Равенство (4.32) задает -мерную характеристическую функцию N случайных величин и является функцией от N переменных Равенство же (4.33) задает характеристическую функцию одной случайной величйиы у и является функцией одного переменного

Пример 4.3.2. Пусть случайная величина является суммой двух независимых случайных величин Из равенства (4.33) следует, что

Плотность распределения вероятностей величины можно теперь найти, вычислив обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (4.34). Получим

Подставляя вместо правую часть равенства (4.16) и меняя порядок интегрирования, получаем

Отсюда, используя (4.18), находим, что

Этот результат в точности совпадает с результатом, полученным ранее [см. равенство (3.50)] непосредственно из рассмотрения функций распределения.