8.4. Гауссовский вероятностный процесс

Вероятностный процесс называется гауссовским, если для любого конечного множества моментов времени случайные величины имеет гауссовскую плотность совместного распределения

вероятностей. Если рассматриваемый процесс является действительным, то в соответствии с равенством (8.46) плотность совместного распределения вероятностей N случайных величин равна

где

а матрица ковариаций, состоящая из элементов

Если рассматриваемый процесс является стационарным в широком смысле, то При этом ковариации и плотности совместного распределения становятся функциями только разности моментов времени а не самих Следовательно, стационарный в широком смысле гауссовский вероятностный процесс стационарен также и в узком смысле,

Если данный процесс является комплексным, комплексных случайных величин

где действительные величины должны иметь -мерную гауссовскую совместную плотность распределения вероятностей.

Линейные преобразования.

Пусть вероятностный процесс с выборочными функциями является действительным гауссовским вероятностным процессом, и пусть интеграл

где — непрерывная действительная функция от t, существует в смысле, указанном в § 4.7. Покажем, что случайная величина у является действительной гауссовской случайной величиной.

Разобьем интервал интегрирования на N подинтервалов где и рассмотрим сумму

где Математическое ожидание этой суммы равно

Если существует математическое ожидание величины у, т. е. если

и если среднее значение вероятностного процесса является непрерывной функцией от t, то

где все при стремятся к нулю. Среднее значение квадрата аппроксимирующей суммы равно

Если существует среднее значение квадрата величины у, т. е. если

и если корреляционная функция является непрерывной функцией от t и то

Таким образом, из (8.64) и (8.66) следует, что

Мы можем теперь показать, что сходится в среднем к у. Рассмотрим выражение

Мы можем представить в виде

В силу непрерывности по непрерывным по является

и выражение в квадратных скобках. Следовательно, согласно (8.65),

Подставляя (8.66) и (8.69) в (8.68), находим, что

Итак, сумма (8.62) в среднем, а значит и по вероятности, сходится к у. Из результатов § 4.6, далее, следует, что функции распределения вероятностей суммы (8.62) сходятся к функции распределения величины у. Остается найти вид функции распределения величины у.

Равенство (8.62) определяет как линейную комбинацию совокупности гауссовских случайных величин. Следовательно, аппроксимирующая сумма у также является гауссовской случайной величиной, характеристическая функция которой в соответствии с (8.10) равна

Из (8.64) и (8.67) следует, что предельная форма этой характеристической функции также является гауссовской:

Так как мы показали, что функции распределения аппроксимирующих сумм сходятся к функции распределения величины у, и так как предельная характеристическая функция для величин непрерывна по при то отсюда следует, что

и, значит, в соответствии с (8.71) у является действительной гауссовской случайной величиной.

Если вероятностный процесс с выборочными функциями является комплексным гауссовским вероятностным процессом, то для доказательства того, что определяемая выражением (8.61) случайная величина у будет комплексной гауссовской случайной величиной, необходимо применить приведенные выше соображения по отдельности к действительной и мнимой частям

При выполнении подходящих условий интегрируемости можно также показать, что если вероятностный процесс с выборочными

функциями является гауссовским и если интеграл

где — непрерывная функция от t и существует, то вероятностный процесс, имеющий выборочные функции также является гауссовским.

Ортогональные разложения.

Пусть — выборочная функция стационарного гауссовского вероятностного процесса. Тогда, в соответствии с результатами § 6.4 и предыдущего раздела, мы можем разложить этот процесс в интервале в ряд Фурье

где коэффициенты

— комплексные гауссовские случайные величины. Поскольку в пределе при эти коэффициенты становятся некоррелированными, они становятся также независимыми случайными величинами.

Из результатов § 6.4 следует также, что гауссовский вероятностный процесс с выборочными функциями независимо от того, стационарен он или нет, может быть представлен в интервале обобщенным рядом Фурье

где — соответственно собственные значения и собственные функции интегрального уравнения

а коэффициенты

являются некоррелированными (и, следовательно, независимыми) гауссовскими случайными величинами.