4.8. Временные средние

В § 4.1 мы определили математическое ожидание (статистическое среднее) вероятностного процесса с выборочными функциями как некоторую функцию времени Это среднее представляет собой среднее «поперек процесса»; при каждом оно определяет среднее значение случайной величины, описывающей возможные значения, которые могут принимать выборочные функции при . Представляется естественным рассмотреть также средние «вдоль процесса», т. е. временные средние от отдельных выборочных функций, и исследовать связь между ними и статистическими средними. Так как в большинстве интересных для нас случаев выборочные функции простираются во времени до бесконечности, то мы определим временное среднее от выборочной функции формулой

если этот предел существует. Следует отметить, что среднее может не существовать (т. е. конечные средние могут не иметь предела) для всех или даже лишь для некоторых выборочных функций и что если даже временные средние существуют, то они могут быть различными для различных выборочных функций. Из-за этого, а также в силу того, что математическое ожидание нестационарного случайного процесса в общем случае не постоянно во времени, мы не можем надеяться, что в общем случае «временное среднее равно статистическому среднему». Тем не менее в некоторых случаях естественно ожидать, что временные средние от почти всех выборочных функций должны существовать и быть равными постоянному статистическому среднему (математическому ожиданию).

Рассмотрим, например, диод, работающий в неизменных во времени условиях; пусть мы в течение длительного периода Т наблюдаем развиваемое им шумовое напряжение, и пусть для аппроксимации временного среднего этого напряжения мы рассматриваем К его значений, измеренных в моменты времени где причем К очень велико, и, далее, берем среднее

по совокупности этих К значений. Предположим также, что мы в некоторый момент времени одновременно измеряем напряжение на К других диодах, совершенно идентичных первому и работающих в таких же условиях, и усредняем результаты этих измерений. Если в первом случае достаточно велико, так что шумовые напряжения, измеряемые через интервалы времени слабо зависят одно от другого, то кажется, что нет никаких физических оснований для того, чтобы результат осреднения К последовательных измерений на одном диоде был выше или ниже, чем результат осреднения одновременных измерений на К диодах, и мы можем ожидать, что временное среднее и статистическое среднее будут равны друг другу (в пределе). Заметим, что в этом примере имеет место статистическая стационарность.

Удовлетворительные результаты, касающиеся связи между временными и статистическими средними, получены на самом деле только для стационарных вероятностных процессов. Наиболее важным из таких результатов является эргодическая теорема Биркгофа, главное утверждение которой состоит в том, что для стационарного вероятностного процесса среднее существует для всех выборочных функций, некоторой совокупности, имеющей вероятность нуль. Таким образом, говоря о временных средних от выборочных функций стационарных процессов, мы стоим на твердой почве. Временное среднее стационарного вероятностного процесса является случайной величиной, однако, как гласит далее эргодическая теорема, при выполнении определенного условия, называемого условием эргодичности, это среднее равно с вероятностью единица постоянному математическому ожиданию Точное описание условия эргодичности выходит за рамки настоящей книги; суть его состоит в том, что в эргодическом процессе всякая выборочная функция должна в конечном итоге вести себя почти так же, как любая другая выборочная функция. Одно простое условие, влекущее за собой эргодичность для важного класса гауссовских вероятностных процессов с непрерывными корреляционными функциями, состоит в том, что

где — корреляционная функция рассматриваемого вероятностного процесса, и процесс предполагается стационарным с нулевым

средним. В общем случае, однако, никакие условия, налагаемые только на не могут гарантировать эргодичность.

Нужно отметить, что если вероятностный процесс эргодичен, то любая функция от этого процесса (удовлетворяющая определенным условиям измеримости) также задает эргодический вероятностный процесс и поэтому обладает равными друг другу временными и статистическими средними. В частности, для эргодического случайного процесса с выборочными функциями имеем с вероятностью единица

Сходимость по вероятности.

Не имея возможности доказать здесь эргодическую теорему, мы тем не менее можем доказать более слабое предложение, связывающее временные и статистические средние. Пусть — выборочная функция стационарного в широком смысле вероятностного процесса с конечным средним значением и конечной дисперсией Среднее от выборочной функции за конечный интервал времени определяется равенством

Тогда, если предел существует,

Если при фиксированном Т функция пробегает значения, соответствующие всевозможным выборочным функциям, то задает случайную величину, которую мы также обозначим через . Ниже мы покажем, что если разность между корреляционной функцией вероятностного процесса и квадратом его среднего значения абсолютно интегрируема, т. е. если

то при случайные величины сходятся по вероятности к

Прежде всего, взяв математические ожидания обеих частей равенства (4.78) и изменив порядок статистического усреднения и интегрирования

будем иметь

поскольку . В силу того, что этот результат верен при любом Т, мы получаем, что

т. е. что математическое ожидание временного среднего выборочной функции вероятностного процесса, стационарного в широком смысле, равно среднему значению этого процесса.

Дисперсия может теперь быть найдена следующим образом. Меняя порядок статистического усреднения и интегрирования, получаем из (4.78) и (4.81)

где — корреляционная функция рассматриваемого вероятностного процесса. Полагая имеем

Интегрирование ведется здесь по области, занятой параллелограммом, изображенным на фиг. 4.4.

Фиг. 4.4. Область интегрирования.

Поскольку корреляционная функция является четной функцией от (и в нашем случае не зависит от ), интеграл по всему параллелограмму равен просто удвоенному значению интеграла, взятого по части параллелограмма, лежащей вправо от оси t, Следовательно,

и поэтому

Так как

то из предположения, что

следует, что

Из последнего равенства и из результатов § 4.6 вытекает, что

и

Нужно отметить, что это условие абсолютной интегрируемости является достаточным условием для выполнения предельного соотношения (4.85), но может и не быть необходимым условием.

Временная корреляционная функция.

Определим временную корреляционную функцию выборочной функции вероятностного процесса формулой

Если вероятностный процесс эргодичен, то временная корреляционная функция его выборочных функций с вероятностью единица равна статистической корреляционной функции этого процесса:

Аналогично мы можем определить временную взаимную корреляционную функцию выборочных функций двух вероятностных процессов:

Если эти два процесса образуют совместно эргодический процесс, с вероятностью единица

Пример 4.8.1. Определение (4.88) можно применять не только к выбороч функциям вероятностного процесса, и к произвольным функциям времени, если только предел, входящий в определение, существует. Пусть, например, — комплексная периодическая функция времени, такая, что ее ряд Фурье сходится. Тогда мы можем написать

где принимает целые значения, — основная угловая частота функции коэффициенты комплексные константы, определяемые равенством

Из (4 88) вытекает, что

Меняя порядок интегрирования и суммирования и используя тот факт, что.

получаем

Если — действительная функция времени, то равенство (4.94) принимает вид

Итак, мы видим, что корреляционная функция периодической функции времени сама является также периодической функцией с периодом, равным периоду исходной функции. Равенство (4.95), далее, показывает, что вся информация об относительных фазах отдельных компонент не отражается в корреляционной

функции (поскольку эта функция выражается лишь через модули коэффициентов Таким образом, все периодические функции времени, имеющие одинаковые модули коэффициентов Фурье и равные периоды, имеют одинаковые корреляционные функции, хотя фазы их коэффициентов Фурье (а значит, и действительное временное строение этих функций) могут быть различными. Этот результат показывает, что соответствие между функциями от времени и корреляционными функциями не является взаимно однозначным, так как оно переводит разные временные функции в одну и ту же корреляционную.