8.5. Узкополосный гауссовский вероятностный процесс

Вероятностный процесс называют узкополосным вероятностным процессом, если ширина полосы той области частот, где спектральная плотность имеет значительную величину, мала по сравнению со средней частотой этой области. Типичная спектральная плотность узкополосного процесса показана на фиг. 8.2.

Фиг. 8.2. Спектральная плотность узкополосного процесса.

Если посмотреть выборочную функцию такого процесса на экране осциллографа, то она будет иметь вид синусоиды с медленно меняющимися огибающей (амплитудой) и фазой. Это значит, что выборочная функция узкополосного случайного процесса может быть представлена в виде

где - средняя частота полосы частот процесса, а огибающая и фаза — медленно меняющиеся функции времени. Формально возможность такой записи не ограничена случаем узкополосного процесса; однако понятие огибающей полезно лишь тогда, когда изменения происходят медленно по сравнению с изменениями

Распределения вероятностей огибающей и фазы.

Выясним теперь некоторые статистические свойства) огибающей и фазы узкополосного стационарного гауссовского вероятностного процесса. Для этого удобно представить заданный процесс в виде ряда Фурье в интервале

где

и

Из результатов § 6.4 и предыдущего параграфа следует, что эти коэффициенты являются гауссовскими случайными величинами и становятся некоррелированными при неограниченном увеличении интервала времени. Среднюю частоту узкой спектральной полосы можно ввести в рассмотрение, записав в (8.80) в виде , где и разложив синусоидальные и косинусоидальные множители. Тогда мы получим равенство

где, согласно нашему определению,

и

Из равенств (8.79) и (8.82) вытекает, что

и, следовательно,

и

где Так как в (8.83) не обращаются в нуль только те члены, для которых значения лежат в заданной узкой спектральной полосе, то все частотные составляющие выборочных функций лежат внутри полосы ширины с центром в нулевой частоте. Следовательно, в аналогичной области частот расположены и все частотные составляющие огибающей и фазы.

Случайные величины задающие возможные значения соответственно являются суммами гауссовских -чайных величин и поэтому сами являются гауссовскими случайными величинами. Их средние значения равны нулю:

поскольку нулю равно среднее значение исходного процесса. Среднее значение квадрата величины согласно (8.83 а), равно

Используя предельные свойства коэффициентов (равенство (6.31), получаем, что при

где — спектральная плотность гауссовского вероятностного процесса. Аналогично можно показать, что

откуда, используя равенство (8.86), находим, что

где Ковариация величин равна

и при

Следовательно,

Таким образом, — независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними значениями и с дисперсиями

Согласно (8.12), их плотность совместного распределения вероятностей равна

Исходя из плотности совместного распределения величин можно теперь найти плотность совместного распределения вероятностей огибающей и фазы, т. е. случайных величин . Согласно (8.84), якобиан преобразования от равен

Поэтому из равенств (3.54) и (8.89) следует, что

Плотность распределения величины можно найти, проинтегрировав найденный результат по в пределах от 0 до она оказывается равной

Фиг. 8 3. Плотность распределения Рэлея.

Эту плотность называют плотностью распределения Рэлея; ее график изображен на фиг. 8.3. Плотность распределения величины

может быть найдена интегрированием выражения (8.90) по V

Следовательно, случайный фазовый угол имеет равномерное распределение. Из равенств (8.90), (8.91) и (8.92) следует, что

и, значит, являются независимыми случайными величинами. Однако, как мы покажем ниже, вероятностные процессы, задающие огибающую и фазу и имеющие своими выборочными функциями соответственно не являются независимыми, вероятностными процессами.

Совместные плотности.

Исходя из плотности совместного распределения случайных величин найдем теперь плотности совместного распределения величин а также Из равенств (8.83) следует, что величины являются гауссовскими; для задания их совместной плотности распределения остается только найти их ковариации.

Из равенства (8.87) следует, в частности, что

и, согласно (8.88),

Ковариация величин равна

это выражение при с учетом (6.31) приводится к виду

Следовательно,

Аналогично можно показать, что

и что

Ковариационная матрица случайных величин имеет тогда вид

Детерминант этой матрицы равен

а алгебраические дополнения —

Таким образом, из равенства (8.46) следует, что совместная плотность распределения величин равна

где задается равенством (8.99).

Согласно (8.84), якобиан преобразования от равен

справедлива при Следовательно, равенство

справедливо при Дифференцируя по р, получаем

Таким образом, плотность совместного распределения величин равна

где определяется равенством (8.99), а - равенством (8.104).

Вычисление выражений (8.102), (8.103) и (8.106), например, при показывает, что

Таким образом, огибающая и фаза вероятностного процесса не являются независимыми процессами.