1.2. Эта книга

Приблизительно вся первая половина настоящей книги посвящена рассмотрению тех элементов теории вероятностей и статистики, которые особенно важны для изучения случайных сигналов и шумов в системах связи. Последующие главы книги посвящены приложениям.

Обзор содержания. В гл. 2 вводится понятие вероятности события (т. е. исхода эксперимента) как относительной частоты его появления и формулируется система аксиом теории вероятностей. Далее рассматриваются вероятности одновременного появления нескольких событий и вводится понятие независимости. В гл. 3 вводится представление событий точками в выборочном пространстве и определяются случайные величины как функции на этом выборочном пространстве. Далее вводятся понятие вероятностей, заданных на выборочном пространстве, и понятия функции распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей случайной величины. Определение вероятностного процесса как

семейства случайных величин, зависящих от параметра t, позволяет распространить понятия теории вероятностей на случайные функции времени.

В гл. 4 с помощью обычного арифметического среднего вводится понятие математического ожидания, или статистического среднего, и рассматриваются различные виды статистических средних. В частности, характеристическая функция случайной величины х определяется как математическое ожидание и показывается, что она является преобразованием Фурье от плотности распределения вероятностей величины х. Затем вводится коэффициент корреляции двух случайных величин х и у как математическое ожидание нормированного произведения х на у и показывается, как он связан с задачей наилучшего среднеквадратичного предсказания у по заданному х. Случайные величины х и у называются линейно независимыми, если их коэффициент корреляции равен нулю. Наконец, в гл. 4 исследуются соотношения между временными средними и статистическими средними.

В гл. 5 вводится понятие выбора, в частности более или менее подробно рассматривается вопрос о выборочном среднем. Здесь также выводится простой вариант центральной предельной теоремы и изучается соотношение между относительной частотой появления события и его вероятностью.

Спектральная плотность, т. е. распределение мощности по частоте для заданной функции времени, рассматривается в гл. 6, где показывается, что спектральная плотность мощности для данной функции времени является преобразованием Фурье от ее корреляционной функции. Далее понятие спектральной плотности распространяется на вероятностные процессы и рассматривается задача о представлении случайного процесса рядами ортогональных функций времени с независимыми случайными коэффициентами.

В гл. 7 методы расчета статистических свойств физических процессов иллюстрируются примером изучения дробового эффекта в электронных лампах. Сначала методом, аналогичным использованному Райсом (I), исследуются свойства дробового шума в диодах, работающих в режиме насыщения, после чего полученные результаты распространяются на лампы, работающие не в режиме насыщения.

Один из наиболее часто встречающихся и хорошо изученных классов вероятностных процессов образуют гауссовские процессы. Их статистические свойства рассматриваются в гл. 8. В частности, подробно изучаются свойства узкополосного гауссовского вероятностного процесса, а также совместные статистические свойства синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского процесса.

В гл. 9, 10 и 11 методами, развитыми в гл. 2—8, изучается прохождение случайных сигналов и шумов через линейные системы. В гл. 9 рассматривается прохождение через линейную систему сигнала

нала в форме обычной функции времени и полученные результаты распространяются на случайные функции времени. Здесь определяются также корреляционные функции и спектральные плотности отклика на выходе линейной системы при подаче на вход ее вероятностного процесса и решается задача о нахождении плотности распределения вероятностей отклика. В гл. 10 полученные результаты применяются к исследованию шума в усилителях. Определяется шум-фактор и рассматриваются некоторые его свойства. Гл. 11 посвящена вопросам синтеза оптимальной линейной системы. В частности, излагается теория сглаживания и прогнозирования с наименьшей среднеквадратичной ошибкой с использованием как всей предыстории входного сигнала, так и только некоторой конечной части ее.

В гл. 12 и 13 рассматривается прохождение случайных процессов через нелинейные системы, не имеющие памяти. В гл. 12 эта задача исследуется прямым методом при помощи преобразований переменных с использованием нелинейных характеристик рассматриваемого устройства. В частности, там рассматриваются двух-полупериодный квадратичный и однополупериодный линейный детекторы. В гл. 13 определяется переходная функция нелинейного устройства как преобразование Фурье его характеристики. Далее переходная функция используется для нахождения корреляционной функции и спектральной плотности отклика нелинейной системы на сумму синусоидального сигнала и гауссовского вероятностного процесса. В заключение получаются частные результаты, относящиеся к классу нелинейных устройств v-й степени.

Гл. 14 вводит читателя в вопросы приложения теории проверки статистических гипотез и оценки параметров к задачам обнаружения и выделения сигналов. Развиваются необходимые статистические принципы, включая критерий Неймана—Пирсона для проверки гипотез и другие критерии, использующие отношение правдоподобия, и оценку параметра методом наибольшего правдоподобия. Даются приложения развитых методов к радиолокационным устройствам и системам радиосвязи, работающим с двоичным алфавитом.

Библиография. Упоминаемые в тексте литературные источники перечислены в конце книги, причем указаны лишь работы, имеющие, как нам кажется, непосредственное отношение к тексту книги или к задачам, приведенным в конце глав; не делается никаких попыток дать полную библиографию. Подробный перечень литературы можно найти в библиографиях Чессина, Грина и Стамперса, а также в книгах Блан-Лапьера и Форте, Бунимовича, Крамера, Дуба, Гнеденко и Колмогорова и Солодовникова (см. литературу).