3.3. Дискретные случайные величины

Назовем случайную величину х дискретной случайной величиной, если х может принимать на любом конечном интервале только конечное число значений. Так, например, случайная величина, определяемая как количество выпадений герба при N бросаниях монеты, является дискретной случайной величиной. Полная совокупность всех вероятностей относящихся ко всем возможным

значениям величины х, называется распределением вероятностей дискретной случайной величины х. Из определения функции распределения следует, что в дискретном случае

и, следовательно,

На фиг. 3.1 показаны распределение вероятностей и соответствующая ему функция распределения для некоторой конкретной дискретной случайной величины.

Фиг. 3.1. Дискретное распределение вероятностей и функция распределения. а — распределение вероятностей; б — функция распределения.

Если распределение вероятностей для двумерной дискретной случайной величины задавать системой вероятностей то соответствующая совместная функция распределения задается выражением

Следовательно,

Пример совместного распределения вероятностей и соответствующей ему совместной функции распределения двумерной дискретной случайной величины приведен на фиг. 3.2.

Фиг. 3.2. Двумерное дискретное распределение вероятностей и соответствующая функция распределения: а — совместное распределение вероятностей; б — совместная функция распределения.

Из нашего определения выборочной точки следует, что различные выборочные точки соответствуют попарно несовместимым событиям. Поэтому результаты, полученные в гл. 2 для таких событий, могут быть непосредственно приложены к изучению дискретных случайных величин. Так, равенство (3.6) вытекает из (2.5), а равенство (3.8) — из (2.8). Соотношения между совместным распределением вероятностей и одномерными распределениями

для дискретных случайных величин следуют непосредственно из равенства (2.9) и имеют вид

Аналогично из равенства (2.12) следует, что

а из равенства (2.14) — что