ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ

П.1.1. Определения

Единичная импульсная функция называемая также дельта-функцией Дирака, по определению, равна бесконечности, когда ее аргумент равен нулю, и нулю при остальных значениях аргумента, причем площадь под ее графиком равна единице Таким образом,

и

Далее, часто желательно определять эту импульсную функцию так, чтобы она была четной функцией своего аргумента:

В этом случае

Предположим, что единичная импульсная функция интегрируема по интервалу Тогда результат интегрирования будет лавен нулю, половине или единице в зависимости от того, будет соответственно меньше равно или больше Следовательно,

где — функция единичного скачка:

Таким образом, функция единичного скачка является интегралом от единичной импульсной функции, и мы, следовательно, можем, рассматривать единичную импульсную функцию как производную от функции единичного скачка. Итак,

Единичная импульсная функция и функция единичного скачка изображены на фиг. П. 1.1.

Фиг. П. 1.1. Сингулярные функции: а — единичная импульсная функция; б — функция единичного скачка.

Хотя с математической точки зрения определение импульсной функции не вполне корректно, свойства ее часто оказываются весьма полезными. Например, с помощью единичной импульсной функции мы распространили понятие плотности распределения вероятностей на случай дискретных случайных величин. Для того чтобы сделать введение единичной импульсной функции, или, вернее, операции, которые мы будем производить с ее помощью, более обоснованными, часто удобно рассматривать единичную импульсную функцию как предел бесконечной последовательности обычных функций.

Рассмотрим прямоугольную импульсную функцию

где . Эта функция изображена на фиг. П. 1.2. Для нее при всех

Если мы теперь положим то ширина импульса будет стремиться к нулю, высота — к бесконечности, а площадь под

графиком будет оставаться постоянной и равной единице. Таким образом, единичную импульсную функцию можно рассматривать как предел последовательности прямоугольных импульсных функций:

Прямоугольная импульсная функция является простым и удобным прототипом импульсной функции, но она разрывна.

Фиг. П. 1.2. а — прямоугольная импульсная функция; б — гауссовская импульсная функция.

В некоторых задачах более удобно использовать в качестве такого прототипа функции, обладающие производными. Одной из них является гауссовская импульсная функция

где Эта функция также изображена на фиг. П. 1.2. Для всех значений

Далее, при а высота стремится к бесконечности, а края сближаются к нулю. Таким образом, в пределе при гауссовская импульсная функция удовлетворяет определению единичной импульсной функции, и мы можем положить

П.1.2. Интегралы с дельта-функцией

Рассмотрим интеграл

где функция непрерывна в точке Согласно свойствам единичной импульсной функции, подинтегральное выражение I отлично от нуля только в точке Таким образом, интеграл зависит от значения только в точке и мы можем написать

Поэтому, используя (П. 1.2), имеем

Итак, для вычисления интеграла от произведения некоторой заданной функции на единичную импульсную функцию в точке нужно просто вычислить значение заданной функции в этой точке.

П.1.3. Преобразования Фурье

Преобразование Фурье единичной импульсной функции равно

Согласно сказанному в предыдущем параграфе,

и, следовательно,

Формальное применение обратного преобразования Фурье дает

и

Из равенств (П. 1.3) и (П. 1.14) мы видим, что как единичная импульсная, функция так и ее преобразование Фурье — четные

функции. Следовательно,

и

В соответствии с равенствами и тождеством

получаем пары преобразований Фурье

и

Поскольку как так и оба импульса являются четными функциями, последние равенства можно переписать в виде

и

П.1.4. Производные импульсных функций

Согласно равенствам прямоугольная импульсная функция может быть выражена через функцию единичного скачка:

следовательно, производная ее, согласно равна

Проинтегрируем теперь произведение этой производной на некоторую функцию имеющую в точке непрерывную производную. Используя равенство (П. 1.11), получим

Предел этого выражения при равен взятому с обратным знаком значению производной от при

Определим производную от единичной импульсной функции как соответствующий предел производной одного из ее прототипов; например,

Тогда мы можем переписать равенство (П.1.22) в виде 101

Следовательно, интеграл от произведения некоторой заданной функции с непрерывной при производной на производную от единичной импульсной функции в точке равен взятому с обратным знаком значению производной от заданной функции в этой точке.

Аналогично производная от единичной импульсной функции может быть определена как предел производной одного из ее прототипов. При этом можно показать, что если имеет в точке непрерывную производную, то

Поэтому преобразование Фурье от производной единичной импульсной функции равно

Следовательно, согласно