11.6. Сглаживание и прогнозирование при конечном времени наблюдения

Рассмотрим теперь задачу об оптимальном сглаживании и прогнозировании для фильтра, обрабатывающего выборки сигнала и шума лишь за конечный интервал времени. Здесь мы имеем для отклика фильтра вместо (11.2) равенство

и требуется найти функцию минимизирующую выражение

Теперь мы можем либо использовать формальную процедуру минимизации, примененную в начале § 11.2, либо идти более кратким путем и заметить, как и в равенстве (11.24), что для того, чтобы оценка была наилучшей в смысле среднеквадратичных значений, ошибка должна быть не коррелирована с в противном случае дальнейшие линейные операции над могли бы уменьшить ошибку. Итак,

Подставляя сюда равенство (11.60), получаем

или

Итак, для того чтобы быть импульсным откликом оптимального фильтра, функция должна удовлетворять уравнению (11.62); нетрудно показать, что условие (11.62) является также и достаточным.

Уравнение (11.62) может или иметь решение, или не иметь его. Как и при исследовании уравнения (11.9), мы рассмотрим лишь тот случай, когда вероятностный процесс имеет рациональную спектральную плотность. Тогда, положив можем написать

где N и D — полиномы соответственно степеней и d. Для удобства, а также из-за того, что в дальнейшем нам придется рассматривать интегральное уравнение, аналогичное (11.62), в котором, однако, правая часть не является взаимной корреляционной функцией, мы вместо будем писать Применяя это обозначение и используя (11.63), мы можем привести (11.62) к виду

Применим к обоим частям этого уравнения дифференциальный оператор Тогда в подинтегральном выражении в левой

части возникает полином который сократится с в знаменателе, и мы получим

Полином также может быть получен дифференцированием интеграла, и поэтому равенство (11.65) можно переписать в виде

или

или где использовано равенство

Итак, любое решение уравнения (11.64) должно удовлетворять линейному дифференциальному уравнению (11.66). Общее решение уравнения (11.66) имеет произвольных постоянных. Для того чтобы установить, является ли решение уравнения (11.66) при каком-либо выборе этих постоянных решением уравнения (11.64), и чтобы вычислить эти постоянные, нужно подставить общее решение уравнения (11.66) в уравнение (11.64). Можно показать, что выбор постоянных, при которых решение уравнения (11.66) относительно является решением уравнения (11.64), возможен в том и только в том случае, когда известная функция и ее производные удовлетворяют определенным однородным граничным условиям при . Если прибавить к общему решению уравнения (11.66) сумму

где неизвестны, а есть производная дельтафункции , то решение уравнения (11.64) (в чисто формальном смысле) может быть получено всегда Если в решение

для весовой функции входят производные от импульсных функций, то это, естественно, означает, что оптимальный фильтр должен осуществлять какое-либо дифференцирование.

Пример 11.6.1. Рассмотрим вновь пример 11.3 с тем, однако, условием, что прогнозирующий фильтр должен оперировать с прошлыми значениями сигнала, лишь начиная с момента . В примере 11.3.1 оказалось, что хотя прогнозирующий фильтр мог использовать всю предысторию сигнала, наилучший фильтр в действительности вовсе не использовал всей этой предыстории. Таким образом, при измененных теперь условиях мы должны получить тот же самый оптимальный фильтр. Мы увидим, что так оно и есть.

Мы имеем

Тогда, согласно (11.66) и (11.67),

Неизвестные коэффициенты а и находятся подстановкой этого выражения для обратно в интегральное уравнение

Это дает

откуда . Следовательно, весовая функция оптимального прогнозирующего фильтра имеет вид

что совпадает с результатом, полученным в примере 11.3.1

Связь с задачами о собственных значениях.

Интегральное уравнение (11.62) тесно связано с интегральным уравнением

Действительно, при некоторых условиях функция может быть выражена в виде бесконечного ряда по собственным функциям уравнения (11.68). Покажем сейчас это формально. Обозначим снова функцию справа в (11.62) через Тогда уравнение

(11.62) примет вид

Пусть — система ортонормированных собственных функций уравнения (11.68), и пусть разложена в ряд по функциям:

где

Тогда, согласно теореме Мерсера,

и левая часть уравнения (11.69) имеет вид

где есть коэффициент Фурье от и

Сравнивая ряды (11.70) и (11.72), мы видим, что уравнение (11.69) удовлетворяется, если

т. е. если

Применяя этот результат к уравнению (11.62), мы видим, что решение этого уравнения может быть записано в форме

При решении задачи отыскания оптимального фильтра равенство (11.74) может быть получено различными методами. Например, можно непосредственно разложить в ортогональный ряд (6.31) по ряд (11.72), вычислить среднеквадратичную ошибку в форме бесконечного ряда и затем подобрать коэффициенты так, чтобы сделать ошибку минимальной. При использовании такого метода не требуется стационарности так как ортогональное разложение справедливо и тогда, когда процесс не стационарен. Дэвис получил таким методом решение обобщенного варианта этой задачи. При этом он допускал, что сигнал содержит в себе полином известной степени с неизвестными коэффициентами.