Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 11.6. Сглаживание и прогнозирование при конечном времени наблюденияРассмотрим теперь задачу об оптимальном сглаживании и прогнозировании для фильтра, обрабатывающего выборки сигнала и шума лишь за конечный интервал времени. Здесь мы имеем для отклика фильтра вместо (11.2) равенство
и требуется найти функцию
Теперь мы можем либо использовать формальную процедуру минимизации, примененную в начале § 11.2, либо идти более кратким путем и заметить, как и в равенстве (11.24), что для того, чтобы оценка
Подставляя сюда равенство (11.60), получаем
или
Итак, для того чтобы быть импульсным откликом оптимального фильтра, функция Уравнение (11.62) может или иметь решение, или не иметь его. Как и при исследовании уравнения (11.9), мы рассмотрим лишь тот случай, когда вероятностный процесс
где N и D — полиномы соответственно степеней
Применим к обоим частям этого уравнения дифференциальный оператор части возникает полином
Полином
или
или
Итак, любое решение уравнения (11.64) должно удовлетворять линейному дифференциальному уравнению (11.66). Общее решение уравнения (11.66) имеет
где для весовой функции Пример 11.6.1. Рассмотрим вновь пример 11.3 с тем, однако, условием, что прогнозирующий фильтр должен оперировать с прошлыми значениями сигнала, лишь начиная с момента Мы имеем
Тогда, согласно (11.66) и (11.67),
Неизвестные коэффициенты а и
Это дает
откуда
что совпадает с результатом, полученным в примере 11.3.1 Связь с задачами о собственных значениях.Интегральное уравнение (11.62) тесно связано с интегральным уравнением
Действительно, при некоторых условиях функция (11.62) примет вид
Пусть
где
Тогда, согласно теореме Мерсера,
и левая часть уравнения (11.69) имеет вид
где
Сравнивая ряды (11.70) и (11.72), мы видим, что уравнение (11.69) удовлетворяется, если
т. е. если
Применяя этот результат к уравнению (11.62), мы видим, что решение этого уравнения может быть записано в форме
При решении задачи отыскания оптимального фильтра равенство (11.74) может быть получено различными методами. Например, можно непосредственно разложить
|
1 |
Оглавление
|