7.2. Распределение вероятностей для моментов вылета электронов

Для того чтобы изучать статистические свойства дробового шума в электронных лампах, мы должны прежде всего найти вероятность того, что в интервале времени длины из катода вылетает в точности К электронов. В случае работы лампы в режиме насыщения представляется естественным предположить, что вероятность вылета электрона в заданном интервале времени не зависит от числа ранее вылетевших электронов и что при малых интервалах она пропорциональна длине интервала, т. е. при

где а — пока что не определенная постоянная. Мы можем также предположить, что при малых вероятность того, что за

время вылетит более чем один электрон, пренебрежимо мала, т. е. что приближенно

для малых .

Вероятность того, что за время не вылетает ни один электрон, мы можем найти следующим образом. Рассмотрим интервал и разобьем его на два подинтервала — один длины и другой длины . Поскольку вылет электрона в интервале времени не зависит от числа электронов, вылетевших в интервале времени мы имеем

Подставляя в это равенство выражение для получаемое из (7.14) и (7.15), мы видим, что для малых

При это уравнение в конечных разностях превращается в дифференциальное уравнение вида

имеющее решение

причем граничное условие

вытекает из соотношений (7.14) и (7.15). Таким образом, мы нашли здесь вероятность как решение дифференциального уравнения. Это важный методический прием.

Рассмотрим теперь вероятность того, что К электронов вылетают за время . Снова мы можем разбить этот интервал на два подинтервала — один длины и другой длины . Если подинтервал достаточно мал, то здесь имеются лишь две возможности: либо за время происходит вылет одного электрона, либо не происходит вылета ни одного электрона. Следовательно, для малых

Так как снова вылет электрона за время не зависит от числа электронов, вылетевших за время то

Подставляя соответствующие выражения для

находим, что при малых значениях

Таким образом, переходя к пределу при получаем дифференциальное уравнение

представляющее собой рекуррентное соотношение, связывающее Поскольку решение этого линейного дифференциального уравнения первого порядка равно

Если мы теперь возьмем то, используя найденный выше результат для сможем получить Этот результат можно, далее, использовать для нахождения с помощью равенства (7.20) вероятности Продолжая этот процесс, позволяющий определить по находим, что

для Таким образом, вероятность того, что в интервале времени длины вылетает К электронов, задается распределением Пуассона.

Среднее число электронов, вылетающих в интервале времени длины равно

так как возможное число электронов, вылетающих за это время, меняется от нуля до бесконечности. Если мы определим как среднее число электронов, вылетающих за секунду, то нетрудно видеть, что

следовательно, вероятность может быть записана в виде

Так как при экспонента стремится к единице, то при и малых последнее равенство сводится приближенно к равенству

что согласуется с (7.14). Итак, вероятность того, что в очень малом промежутке времени вылетает один электрон, приблизительно равна произведению среднего числа электронов, вылетающих в одну секунду, на длину этого промежутка.

Независимость моментов вылета.

Предположим, что интервал разделен моментами времени , где , на М прилегающих друг к другу подинтервалов. Пусть и

Тогда

Рассмотрим теперь вероятность того, что если в полном интервале времени длины вылетает К электронов, то в каждом из подинтервалов времени длины вылетает электронов, где

Согласно определению условной вероятности,

Так как вероятность вылета в последнем подинтервале времени (длины ) электронов не зависит от числа ранее вылетевших электронов, мы можем написать

Продолжая эту процедуру далее, получаем

Используя этот результат, а также то, что число электронов, вылетевших в заданном интервале времени, имеет распределение

Пуассона, находим, что

Предположим теперь, что из чисел равны единице, а остальные — нулю, и те из подинтервалов, для которых занумеруем индексами где Здесь и мы хотим найти вероятность того, что если в интервале времени длины вылетело N электронов, то в каждом из неперекрывающихся подинтервалов длины таких, что

вылетает один электрон. В этом случае, согласно равенству (7.26),

Можно показать, что тот же результат получится, если рассматривать моменты вылета отдельных электронов как независимые случайные величины, плотности распределения которых равны константам:

По этой причине пуассоновский процесс иногда называют «чисто случайным» процессом.