13.5. Узкополосное воздействие

Предположим, что на вход нелинейного устройства подаются немодулированный синусоидальный сигнал и стационарный гауссовский шум, спектр которого сконцентрирован около несущей частоты синусоидального сигнала (фиг. 13.4). Тогда спектральная плотность отклика устройства задается равенством (13.67).

Фиг. 13.4. Спектральная плотность узкополосного воздействия.

Исследуем теперь шумовую составляющую спектральной плотности отклика. В частности, рассмотрим спектральную плотность . Первое слагаемое как это следует из равенства (13.71), совпадает с шумовой составляющей спектральной

плотности воздействия. Слагаемые, соответствующие образуются последовательными применениями рекуррентной формулы (13.72). Так, например, есть свертка т. е. свертка с ней самой. Следовательно, спектральная плотность максимальна при нулевой частоте и имеет меньшие пики, расположенные на частоте, равной удвоенной несущей частоте (фиг. 13.5, б).

Фиг. 13.5. Графики спектральной плотности различных значениях к, показывающие относительные величины различных спектральных полос:

Из свойств свертки следует, что форма всех пиков одинакова, хотя она и может отличаться от формы пиков . Повторяя операцию свертки с можно, в согласии с выражением (13.73), построить для любого Типичные графики для изображены на фиг. 13.5. Из определения свертки легко видеть, что при нечетном пики располагаются на частотах, являющихся

нечетными кратными несущей частоты, и лежат в пределах Аналогично при четном пики располагаются на частотах, являющихся четными кратными и лежат в пределах

Согласно равенству (13.69), слагаемое -составляющей спектральной плотности равно умноженной на Таким образом, первые четыре слагаемых -части спектральной плотности изображены на фиг. 13.5 с точностью до этого множителя. Каждое слагаемое -составляющей и спектральной плотности отклика имеет вид произведения на Следовательно, графики этих слагаемых можно построить (с точностью до масштабного множителя), исходя из графиков фиг. 13.5, простым смещением соответствующих пиков Результаты такого построения для приведены на фиг. 13.6.

Фиг. 13.6. Графики, показывающие общий вид плотности

Предыдущие результаты относятся к тому случаю, когда входной синусоидальный сигнал не модулирован. В случае амплитудной модуляции входного сигнала из равенств (13.80) — (13.82) следует, что графики различных составляющих спектральной плотности

отклика в основном остаются такими же, как на фиг. 13.5 и 13.6, с той лишь разницей, что теперь наличие модуляции приводит к «размазыванию» каждой спектральной полосы.

Из формул для различных слагаемых и -составля-ющих спектральной плотности отклика и из графиков на фиг. 13.5 и 13.6 следует, что полный спектр шума на выходе складывается из узких спектральных полос, сосредоточенных на частотах, кратных несущей частоте входного сигнала. Относительные величины спектральных плотностей в каждой из полос зависят от характера коэффициентов Которая из этих спектральных полос является наиболее важной, всецело зависит от назначения рассматриваемого нелинейного устройства, т. е. от того, служит ли это устройство детектором или нелинейным усилителем.

Разложение ...

Как мы показали в гл. 8, корреляционная функция узкополосного стационарного действительного гауссовского вероятностного процесса может быть представлена в виде

где

и

Спектральная плотность преобразование Фурье от сконцентрирована в узкой полосе частот около нулевой частоты, а спектральная плотность, соответствующая [сост узкой полосе вокруг Поэтому с помощью равенства (13.83) можно преобразовать таким образом, чтобы выделить явно компоненты, соответствующие отдельным спектральным полосам.

Так как

при четном и

при нечетном то из (13.83) следует, что

Корреляционную функцию отклика нелинейного устройства на воздействие, состоящее из суммы амплитудно-модулированного синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского шума, можно теперь найти подстановкой (13.87) в (13.51) или (13.50), в зависимости от того, стационарен или нет модулирующий сигнал.

Детекторы.

Предположим, что рассматриваемое нелинейное устройство используется в качестве детектора, для чего введен следующий за ним идеальный фильтр низких частот. Благодаря этому фильтру на выход детектора могут проходить только те из слагаемых в разложении спектральной плотности на выходе нелинейного устройства, которые сосредоточены около нулевой частоты. Найдем теперь составляющие шума на выходе детектора.

Рассуждения, которые привели нас к графикам на фиг. 13.5, показывают, что около нулевой частоты сосредоточены только такие составляющие для которых четно; следовательно, на выход детектора проходят только те из слагаемых -составляющей спектра на выходе нелинейного устройства, которые соответствуют четным Согласно (13.63),

или, с учетом разложения по формуле (13.87),

Поскольку как так и М соответствуют низкочастотным флуктуациям, члены первого ряда соответствуют компонентам спектра, сосредоточенным около нулевой частоты, тогда как члены двойного ряда соответствуют компонентам спектра, расположенным около частот Таким образом, отклику на выходе детектора соответствуют только члены первого ряда, и, следовательно, -сосгавляющая корреляционной функции на выходе детектора равна

Аналогично может быть найдена -составляющая корреляционной функции на выходе детектора. Рассмотрение фиг. 13.5 и 13.6 показывает, что шумовые полосы отстоят друг от друга на удвоенную несущую частоту и располагаются от частоты — до частоты Отсюда следует, что шумовые полосы суммы также отстоят друг от друга на удвоенную частоту и что эти спектральные плотности содержат полосы, сосредоточенные около нулевой частоты, только при четном Следовательно, единственная -составляющая корреляционной функции на выходе нелинейного устройства, которая может фигурировать на выходе детектора, определяется (согласно равенством

- часть корреляционной функции на выходе детектора можно теперь найти путем подстановки в последнее равенство значения согласно формуле (13.87) и выделения низкочастотных

составляющих. Действуя таким образом, получаем

Сумма выражений (13.88) и (13.89) задает корреляционную функцию шума на выходе детектора. Если используемый в детекторе фильтр низких частот не является полосовым, то можно применить методы, изложенные в гл. 9, и, используя их совместно с выражениями (13.88) и (13.89), найти истинную корреляционную функцию шума на выходе детектора.

Нелинейные усилители.

В качестве второго примера рассмотрим нелинейный полосовой усилитель. Нелинейность усилителя может быть нежелательной и обусловленной практической невозможностью обеспечить достаточно широкий динамический диапазон или преднамеренной, как, например, в «логарифмических» радиолокационных приемниках и ЧМ-ограничтелях. Тем не менее в обоих случаях представляет интерес определить эффект, обусловленный нелинейностью. Как и в предыдущих разделах настоящего параграфа, мы будем предполагать, что воздействие на вход системы является суммой амплитудно-модулированного синусоидального сигнала и стационарного гауссовского шума, спектр которого сосредоточен в окрестности несущей частоты сигнала.

Поскольку усилитель нелинеен, в нем могут возникать компоненты сигнала и шума, спектры которых сосредоточены около нулевой частоты, около несущей частоты входного сигнала и около всех высших гармоник Система рассматривается как «усилитель», и поэтому для нас представляют интерес только компоненты, сосредоточенные около самой несущей частоты Для удобства анализа будем рассматривать нелинейный усилитель как последовательное соединение нелинейного устройства и идеального полосового фильтра; характеристику этого фильтра будем считать равной единице в некотором интервале частот со средней частотой и нулю вне этого интервала. Если фильтр обладает иными характеристиками, то это может быть учтено применением методов, изложенных в гл. 9.

Теперь мы можем использовать технику, развитую в предыдущих параграфах, с тем чтобы выделить составляющие корреляционной функции на выходе нелинейного устройства, которые соответствуют составляющим, пропускаемым на выход усилителя. При этом можно показать, что -составляющая корреляционной

ной функции на выходе усилителя равна

а -составляющая корреляционной функции равна