6.2. Спектральная плотность периодической функции

Основным предметом нашего изучения в этой главе явится функция, называемая спектральной плотностью мощности (или просто спектральной плотностью) и характеризующая распределение мощности сигнала или шума по частоте, а также связь спектральной плотности с корреляционной функцией. Ситуация, при которой изучается сигнал, являющийся известной функцией времени, отличается от той, которая возникает, когда предметом изучения служит сигнал или шум, рассматриваемый как выборочная функция вероятностного процесса. Хотя между этими двумя ситуациями имеется много аналогий, тем не менее их нужно рассмотреть по отдельности. Мы начнем с рассмотрения наиболее простого случая — спектральной плотности одной периодической функции.

Пусть периодическая функция с периодом Т, имеющая конечную «энергию» за период, т. е. удовлетворяющая условию (6.4). Тогда, согласно теореме Парсеваля, средняя по времени энергия этой функции, т. е. ее мощность, равна сумме слагаемых, каждое из которых связано с одной частотной составляющей разложения Фурье для этой функции. Каждое слагаемое можно, разумеется, трактовать как временное среднее энергии соответствующей частотной компоненты. Таким образом мы приходим к следующему определению функции — спектральной плотности мощности:

Итак, функция состоит из последовательности импульсов, расположенных на частотах составляющих и имеющих интенсивность, равную мощности соответствующих составляющих; ясно, что функция может служить мерой распределения мощности по частоте. Общая мощность равна

Спектр мощности функции определяется формулой

Спектр мощности периодической функции является ступенчатой функцией со скачками в точках, соответствующих гармоническим частотам исходной функции.

Из выражения (6.13) следует, что вся информация о фазах различных частотных составляющих, содержащаяся в разложении функции в ряд Фурье, утрачивается в функции так как две функции имеющие коэффициенты Фурье с одинаковыми модулями, но разными фазами, имеют одинаковую спектральную плотность. Далее, заметим, что если — действительная функция, то ее коэффициенты Фурье являются комплексно сопряженными величинами и, следовательно, Таким образом, если действительна, то функция определяемая равенством (6.13), является четной функцией частоты. Наконец, неотрицательна.

В примере 4.8.1 было показано, что корреляционная функция для ряда Фурье, заданного формулой (6.2), имеет вид

Вычисляя преобразование Фурье от получаем

Таким образом, мы видим, что для периодической функции ее спектральная плотность и корреляционная функция являются парой преобразований Фурье. Следовательно, полная информация относительно частотного распределения средней энергии функции содержится в ее корреляционной функции.