11.2. Сглаживание и прогнозирование стационарных воздействий с использованием бесконечной предыстории (теория Винера)

Применительно к настоящей задаче мы будем предполагать, что воздействие на входе состоит из полезного сигнала и шума причем как так и являются выборочными функциями действительных стационарных в широком смысле вероятностных процессов со стационарной взаимной корреляционной функцией. Мы будем искать весовую функцию физически осуществимого линейного фильтра с фиксированными параметрами, который при подаче на вход его всех предыдущих значений обеспечивает на выходе в момент t навлучшее в смысле среднеквадратичного значения приближение к . Это есть задача о совместном сглаживании и прогнозировании; обычные задачи о сглаживании и о прогнозировании в отсутствие шума являются частными случаями этой задачи. Решение этой задачи принадлежит Колмогорову и Винеру. Сначала мы будем придерживаться в основном изложения Винера. С математической точки зрения нет существенной разницы (хотя она, может быть, имеется с другой точки зрения), рассматривать ли как выборочные функции вероятностных процессов и использовать математические ожидания (такова процедура, которую мы здесь применим) или рассматривать как неизвестные детерминированные функции времени с известными временными корреляционными функциями и использовать временные средние. Читатель, интересующийся теорией в этой последней трактовке, может обратиться, в частности, к краткой работе Левинсона.

Итак, воздействие на входе фильтра есть

Отклик фильтра с весовой функцией равен

где при . Среднеквадратичная ошибка равна

требуется путем соответствующего выбора минимизировать эту ошибку. На самом деле может и не существовать функции которая бы обеспечивала минимум ошибки и входила в класс функций соответствующих физически осуществимым фильтрам. Этот вопрос рассматривается ниже. Так как имеют стационарные корреляционные и взаимную корреляционную функции, то выражение (11.3), определяющее среднеквадратичную ошибку, может быть разложено и записано в виде

Найдем теперь необходимое условие, которому должна удовлетворять для того, чтобы была минимальна. Предположим, что — весовая функция некоторого произвольного осуществимого фильтра. Тогда есть весовая функция осуществимого фильтра, и если обеспечивает наименьшую среднеквадратичную ошибку, то выражение в правой части (11.4) при замене на должно быть по крайней мере не меньше, чем до такой замены. Это должно быть верно при любом вещественном и для любой из относящихся к указанному классу функций При замене на правая часть равенства (11.4) принимает вид

Для того чтобы обеспечивала минимум ошибки, разность между этим выражением и правой частью равенства (11.4) должна быть неотрицательна, т. е.

Последнее слагаемое в левой части неравенства (11.6) всегда неотрицательно, так как неотрицательно определенная функция. Если выражение в фигурных скобках отлично от нуля, то при соответствующем выборе числа положительного или отрицательного, левая часть неравенства (11.6) в целом оказывается отрицательной. Следовательно, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы

Поскольку при отрицательных значениях аргумента функции должны обращаться в нуль, равенство (11.7) может быть записано в виде

Теперь очевидно, что (11.8) может удовлетворяться при всех только если

Таким образом, если функция такова, что осуществимый фильтр с фиксированными параметрами и весовой функцией дает минимальную в классе всех осуществимых фильтров с фиксированными параметрами среднеквадратичную ошибку прогнозирования величины то такая функция должна удовлетворять интегральному уравнению (11.9).

Итак, мы показали, что выполнение соотношения (11.9) для — необходимое условие для того, чтобы обеспечивало минимум ошибки; это условие является также и достаточным. В самом деле, если функция удовлетворяет уравнению (11.9), то равенство (11.8) удовлетворяется для всех Пусть теперь — весовая функция некоторого осуществимого фильтра; покажем,

что дает меньшую среднеквадратичную ошибку, чем Пусть Неравенство (11.6) выполняется, поскольку выполняется равенство (11.8). В частности (11.6) выполняется для заданной функции Но левая часть неравенства (11.6) при есть просто разность между среднеквадратичными ошибками, даваемыми фильтрами с весовыми функциями Следовательно, ошибка при фильтре с весовой функцией не больше, чем ошибка при любой иной возможной весовой функции фильтра.

Таким образом, задача нахождения оптимального сглаживающего и прогнозирующего фильтра теперь сводится к решению интегрального уравнения (11.9). В § 11.4 мы решим это уравнение при условии, что взаимная спектральная плотность является дробно-рациональной функцией. Прежде, однако, стоит обсудить более детально уравнение (11.9) и его вывод и, в частности, рассмотреть специальные случаи чистого сглаживания и чистого прогнозирования, а также влияние условий физической осуществимости фильтра.

Сглаживающий фильтр с бесконечной задержкой.

Предположим, при выводе уравнения (11.9) мы отказались от условия физической осуществимости оптимального фильтра. В этом случае мы должны были бы отыскивать весовую функцию обеспечивающую наименьшую среднеквадратичную ошибку, из числа всех весовых функций, в том числе и таких, которые не обращаются в нуль при отрицательных значениях аргумента. Нетрудно понять, что при этих обстоятельствах выполнение уравнения (11.7) по-прежнему является необходимым условием, которому должна удовлетворять наилучшая функция причем теперь — произвольная весовая функция. Следовательно, равенство (11.8), если заменить в нем нижние пределы в обоих интегралах на — со, также задает необходимое условие, и уравнение (11.9) заменяется уравнением

которое, как нетрудно видеть, выражает не только необходимое, но и достаточное условие для того, чтобы обеспечивало минимум ошибки. Уравнение (11.10) легко решить с помощью преобразования Фурье. Поскольку правая часть является сверткой, мы имеем

откуда

Если сигнал и шум не коррелированы между собой и обладают равными нулю средними значениями, то (11.11) принимает вид

Фильтр, задаваемый функцией передачи (11.12), физически не осуществим; если, однако, допустить задержку по времени отклика фильтра относительно воздействия на него, то такой фильтр можно будет приближенно аппроксимировать осуществимым фильтром, причем аппроксимация будет тем более точной, чем большую задержку мы допустим. Фильтр, задаваемый равенством (11.11), при мы назовем оптимальным сглаживающим фильтром с бесконечной задержкой. Решение, задаваемое равенством (11.11), имеет некоторый практический интерес: оно определяет фильтр, являющийся приблизительно наилучшим в тех случаях, когда длительная запись входных данных (сигнала плюс шум) доступна к моменту начала обработки (фильтрования) этих данных. В этом случае t выступает в задаче как параметр записанных данных, не связанный с действительным временем. Кроме того, решение (11.11) представляет интерес, поскольку, как будет показано ниже, оно связано с наилучшим физически осуществимым сглаживающим и прогнозирующим фильтром. Выражение (11.12) поддается особенно простой интерпретации, согласно которой наилучшее «сглаживание» имеет место тогда, когда из спектра входного воздействия, являющегося суммой сигнала и шума, учитываются с наибольшим весом те составляющие, для которых отношение спектральной плотности сигнала к спектральной плотности шума является наибольшим. Самое лучшее, что может сделать фильтр для отделения сигнала от шума, — это благоприятно отнестись к тем полосам частот, которые содержат больше энергии сигнала, и неблагоприятно — к тем, которые содержат больше энергии шума.