6.5. Спектральная плотность произвольной функции

До сих пор в этой главе мы рассматривали спектральный анализ вероятностных процессов, заданных на конечном интервале времени. Остальная часть главы будет посвящена спектральному анализу на интервале — причем мы начнем с изучения спектра мощности одной функции. Предположим, что сигнал описывается интегрируемой в квадрате функцией тогда обладает преобразованием Фурье и имеют место соотношения (6.11) и (6.12). Полная энергия сигнала равна

а временное среднее энергии, или мощность, есть

Очевидно, рассматривать спектральную плотность мощности в этом случае бесполезно; плотность должна быть для всех частот равна нулю, так как при ее интегрировании получается мощность. Иными словами, при рассмотрении сигналов с конечной общей энергией нужно анализировать не мощность, а энергию.

Часто оказывается удобным предполагать длительность сигнала неограниченной, чего на самом деле, конечно, быть не может. Хотя при этом обычно считается, что энергия сигнала в конечном интервале времени конечна, сигнал может на бесконечном интервале обладать бесконечной энергией. На языке математики это означает, что мы хотим иметь дело с функциями для которых

Класс функций, удовлетворяющих неравенству (6.57), включает в себя все функции, интегрируемые в квадрате, однако он, конечно, гораздо более широк, и функции, удовлетворяющие (6.57), вообще говоря, не имеют преобразований Фурье. Интересно изучить спектральное разложение мощности таких функций однако мы не можем здесь поступать так, как мы поступали с периодическими функциями в конечном интервале, поскольку функции не имеют преобразований Фурье — аналогов рядов Фурье, от которых мы отправлялись раньше. Но мы можем принять за основу корреляционную функцию и рассмотреть ее преобразование Фурье.

Предположим, что предел

существует для всех и, следовательно, условие (6.57) выполняется. Тогда, поскольку

имеем

Итак, если сигнал имеет корреляционную функцию то он имеет и «среднюю мощность» и функция не превосходит Напомним, что аналогичный результат в § 4.5 был получен для корреляционной функции вероятностного процесса.

Определим теперь спектральную плотность мощности функции как преобразование Фурье ее корреляционной функции:

Тогда обратное преобразование дает

В § 6.2 мы определили спектральную плотность периодической функции, удовлетворяющей неравенству (6.4). Поскольку такая функция удовлетворяет также условию (6.58), мы сейчас вновь определили ее спектральную плотность. Здесь, конечно, нет никакого противоречия, так как равенство (6.60) мы получили раньше как свойство, вытекающее из определения. Из (6.61) непосредственно находим связь между спектральной плотностью

и средней мощностью функции :

Исследование спектра, спектральной плотности и корреляционной функции данной функции обычно называют обобщенным гармоническим анализом. Мы не будем продолжать здесь его изучение, так как в задачах, которые мы будем исследовать ниже, нам придется рассматривать сигнал и шум как выборочные функции вероятностных процессов и поэтому нам нужен гармонический анализ вероятностных процессов. Вместе с тем между обобщенным гармоническим анализом функций и созданным позже гармоническим анализом стационарных в широком смысле вероятностных процессов имеется тесная связь. Теоремы, относящиеся к обоим этим случаям, часто оказываются аналогами друг друга. Для эргодических стационарных процессов спектр, задаваемый равенством (6.60) для каждой выборочной функции, с вероятностью единица оказывается таким же, как и спектр вероятностного процесса.