7.6. Ток диода, работающего не в режиме насыщения

Диод, работающий в системе насыщения, представляет известный теоретический интерес; однако на практике чаще приходится иметь дело с лампами, ток которых ограничивается не эмиссионной способностью катода, а пространственным зарядом — облаком электронов, находящихся в пространстве между катодом и анодом. В настоящем параграфе мы выведем соотношение между током диода, работающего не в режиме насыщения, и напряжением, приложенным к лампе. В последующих параграфах мы изучим влияние пространственного заряда на дробовой шум. Как и прежде, мы ограничимся изучением обычных приемно-усилительных ламп, о которых мы говорили в § 7.1.

Предположим снова для удобства, что мы имеем дело с плоско параллельным диодом, катод которого расположен в плоскости , а анод — в плоскости напряжение будем считать равным нулю на катоде и равным на аноде. Плотностью заряда в пространстве между катодом и анодом мы теперь пренебрегать не будем; следовательно, электрический потенциал в этом пространстве должен удовлетворять уравнению Пуассона

Плотность пространственного заряда в некоторой точке является функцией плотности проходящего через лампу тока и скорости электронов в этой точке. Скорость электрона в данной точке пространства между катодом и анодом зависит от скорости вылета из катода и потенциала в данной точке, так как закон сохранения энергии требует, чтобы

Нулевая скорость вылета.

Прежде чем рассматривать общий случай, в котором скорость вылета электронов может быть любой положительной величиной, рассмотрим случай, когда все электроны имеют нулевую скорость вылета. Физически такая ситуация не очень реальна; однако ее анализ содержит много элементов, присущих и более общему случаю, и вместе с тем он проще и поэтому позволяет выявить основные используемые идеи, не затемняя их деталями.

Если скорость вылета каждого из электронов равна нулю, то в плоскости пространства между катодом и анодом все они, согласно равенству (7.55), имеют скорости

Таким образом, при скорости всех электронов одинаковы и плотность заряда, согласно (7.5), равна

следовательно, уравнение Пуассона можно записать в виде

Умножая обе части равенства (7.56) на интегрируя по и учитывая, что при получаем

Второе из использованных здесь условий можно полу чить, продифференцировав равенство (7.55), что дает

и учтя, что при Извлекая, далее, квадратный корень из обеих частей равенства (7.57), интегрируя по х и решая полученное уравнение относительно плотности тока, находим, что при

Этот результат известен как формула Чайльда — Ленгмюйра; он показывает, что плотность тока пропорциональна приложенному напряжению в степени 3/2. Поскольку мы имеем дело с плоскопараллельным диодом, полный ток равен просто произведению плотности тока на площадь анода.

Случайно распределенные скорости вылета.

Случай нулевых скоростей вылета привлекает своей простотой; однако в реальных термоэлектронных лампах ситуация оказывается сущест венно более сложной. В таких диодах скорость вылета электрона может принимать любое положительное значение и является случайной величиной, имеющей распределение Максвелла или Рэлея, т. е. имеющей плотность распределения

где — постоянная Больцмана ( джоулей на градус Кельвина), а температура катода (в градусах Кельвина) Пространственный заряд в области между катодом и анодом обусловлен электронами, а заряд электрона отрицателен; поэтому, согласно уравнению Пуассона (7.54), наклон графика распределения потенциала в области между катодом и анодом должен возрастать с удалением от катода. Если этот наклон положителен, то соответствующее электрическое поле создает ускоряющую силу, действующую на электрон, и, следовательно, скорость электрона растет.

Фиг. 7.3. Распределение потенциала в плоскопараллельном диоде, работающем не в режиме насыщения.

Если наклон отрицателен, то на электрон будет действовать тормозящая сила и скорость электрона будет падать. Таким образом, если поток электронов, попадающих на анод, ограничи вается пространственным зарядом, то где-то между катодом и анодом должен располагаться минимум потенциала и график распре деления потенциала должен иметь форму, изображенную на фиг. 7.3. При этом анода достигают только те электроны, скорость вылета которых оказывается достаточной для преодоления тормозящего действия поля между катодом и плоскостью минимума потенциала. Согласно равенству (7.55), скорость электрона в плоскости минимума потенциала равна

где — минимальный потенциал (являющийся отрицательным); следовательно, критическая скорость вылета (т. е. та наименьшая скорость вылета, при которой электрон еще может

достичь плоскости минимума потенциала) равна

Если электрон пролетает на анод; если электрон возвращается к катоду.

Поскольку при любом представляющем интерес значении тока катода ежесекундно вылетает очень большое число электронов, любое практически наблюденное распределение их скоростей будет, вероятно, лишь мало отличаться от распределения Максвелла. Следовательно, приращение анодного тока, вызванного электронами, скорость вылета которых лежит в пределах равна

где — ток насыщения, т. e. полное значение плотности тока эмиссии. Плотность тока за плоскостью минимума потенциала равна, следовательно,

где нижний предел равен ибо анодный ток образуют только те электроны, у которых

Для того чтобы суметь решить уравнение Пуассона (7.54), мы должны выразить плотность заряда в некоторой плоскости х через плотность тока на этой плоскости. Электронное облако, образующее пространственный заряд, состоит из электронов, имеющих некоторое распределение скоростей. Приращение плотности пространственного заряда в плоскости х, вызванное электронами, скорости вылета которых лежат в пределах равно

где — скорость в плоскости х электрона, вылетевшего из катода со скоростью Подставляя в это выражение значение определяемое равенством (7.62), получаем

Решая уравнение (7.55) относительно и подставляя найденное значение в последнее равенство, а также заменяя в нем

в соответствии с равенством (7.63), приходим к соотношению

Поскольку V при данном х постоянно, из (7.55) следует, что

откуда

Для упрощения дальнейших вычислений введем нормированную потенциальную энергию

и нормированною скорость

Тогда выражение для приращения плотности заряда в плоскости вызванного электронами, скорости которых лежат в интервале можно переписать в виде

Общая плотность заряда в плоскости х находится теперь интегрированием соотношения (7.68) по соответствующему интервалу скоростей.

Предположим, что плоскость х расположена между плоскостью минимума потенциала и анодом; мы будем называть эту область пространства между электродами областью . В область попадают лишь те электроны, скорость вылета которых превосходит критическое значение, т. е. те, для которых удовлетворяет нера венствам

Из (7.55) следует, что соответствующие неравенства для скоростей электронов в плоскости х имеют вид

или, если использовать нормированную скорость,

Следовательно, полная плотность заряда в некоторой плоскости

области Р равна

Входящий в это соотношение интеграл можно вычислить с помощью функции

где . Выражение для может быть переписано а виде

и, следовательно,

Предположим теперь, что плоскость х расположена между катодом и плоскостью наименьшего потенциала; эту область пространства между электродами мы будем называть областью а Здесь через плоскость х пролетают две группы электронов: электроны, движущиеся от катода к плоскости минимума потенциала, и электроны, движущиеся в обратном направлении — к кагоду. Скорости в плоскости х электронов первой группы удовлетворяют неравенствам

и, следовательно,

Ко второй группе относятся электроны, обладающие скоростями, достаточными для достижения плоскости х, но не достаточными для преодоления плоскости минимума потенциала. Для них

и, следовательно,

Поскольку плотности зарядов, вызванных обеими этими группами электронов, имеют одинаковые знаки, полная плотность заряда

в плоскости х оказывается равной

Таким образом, используя (7.69), имеем

Подставим теперь найденные нами выражения для плотности пространственного заряда в уравнение Пуассона. Тогда

где положительный знак соответствует положению плоскости х в области а, а отрицательный знак — в области . Умножая обе части равенства (7.72) на и интегрируя от до х, получаем

поскольку при Из определения следует, что

и поэтому

Введем новую пространственную переменную

Тогда уравнение (7.73) можно переписать в виде

Второй интеграл может быть проинтегрирован по частям, и в результате мы получаем

где

Решением уравнения (7.75) является интеграл

Задача сведена, таким образом, к квадратурам. К сожалению, вычисление интеграла (7.77) в конечном виде с помощью элементарных функций невозможно, и здесь приходится прибегать к численному интегрированию. Результаты такого численного решения табулированы в работе Ленгмюйра (I).

Если, однако, предположить, что велико по сравнению с единицей, то можно легко найти приближенное выражение для интеграла (7.77). Можно показать, что в этом случае для значений х, соответствующих области Р, равенство (7.76) приводится приближенно к виду

и равенство (7.77) переписывается приближенно в виде

Разлагая выражение в скобках в степенной ряд, получаем

Теперь подставляем этот ряд в наше выражение для и интегрируем почленно. Получаем

Соответствующее выражение для плотности тока через анодное напряжение может быть получено подстановкой сюда выражения для из равенства (7.74) и выражения для из равенства (7.66) и последующим решением полученного уравнения относительно . Таким образом мы получаем, что

а это соотношение в предположении сводится к равенству

Сравнивая этот результат с полученным ранее для случая нулевых скоростей вылета, мы видим, что диод, работающий

не в режиме насыщения, при случайно распределенных скоростях вылета электронов из катода действует (в предположении, что анодное напряжение велико по сравнению с ) так, как если бы его катод был расположен в плоскости минимума потенциала, а скорости вылета всех электронов были бы равны нулю.